Alberto Rasà ha scritto:
> qualcuno potrebbe essere così gentile da chiarirmi, o dare un link
> ad una pag. web chiarificatrice, la relazione tra (mi interessa il
> "perché", ovvero il "come si fa a mettere in relazione/dedurre
> che... "):
All'incirca una parte non trascurabile di un corso non introduttivo di
m.q. :-)
Guarda un po' se questo ti basta:
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Punti 1 e 2.
Conviene partire all'inverso: definire prima le traslazioni, poi
l'impulso.
Indico con U(a) l'operatore che trasla uno stato di a (reale
qualsiasi).
U(a)|s> = |s'>
dove |s'> è il traslato di |s>.
U(a) esiste ad è unitario (teorema di Wigner).
(Introduzione molto sommaria: vedi
http://www.sagredo.eu/lezioni/gruppi
capitoli 1 e 2 per un'esposizione più completa.)
Anzi U(a) è un gruppo commutativo, additivo sul parametro a:
U(a)U(b) = U(b)U(a) = U(a+b).
In particolare
U(a)U(-a) = U(0) = I
quindi U(-a) è l'aggiunto di U(a).
Su dimostra che esiste uno e un solo op. autoaggiunto P tale che
U(a) = exp(-iaP).
Osservo che U commuta con P e che
dU(a)/da = -iPU(a) = iU(a)P
dU(-a)/da = iPU(-a).
Sia q l'op. posizione, |x> i suoi autovettori:
q|x> = x|x>.
Per definizione
U(a)|x> = |x+a>
qU(a)|x> = q|x+a> = (x+a)|x+a> = (x+a)U(a)|x> =
U(a)(x+a)|x> = U(a)(q+a)|x>
e dato che |x> è una base
qU(a) = U(a)(q+a) (*)
U(-a)qU(a) = q+a.
Deriviamo:
(dU(-a)/da)qU(a) + U(-a)q(dU(a)/da) = 1
iPU(-a)qU(a) - iU(-a)qU(a)P = 1
iP(q+a) - i(q+a)P = 1
qP - Pq = i.
Dunque
P = p/h (scrivo h per hbar)
ossia
U = exp(-iaP/h).
E' questo il legame tra traslazioni e impulso.
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Punto 3.
Qui non capisco esattamente che cosa cerchi.
Lagrangiana invariante per trslazioni spaziali: sottocaso di una
lagrangiana con una coord. ignorabile, ossia L non dipende da q1.
In questo caso il teorema di Noether dice che _at_L/_at_q1' è una costante
del moto (q1' sta per dq1/dt).
Com'è ovvio, nella forma hamiltoniana _at_L/_at_q1' non è che p1, momento
coniugato a q1,
Se l'energia cinetica ha la forma
T = (m/2)*(dq1/dt)^2 + termini che non contengono dq1/dt
allora
p1 = m*dq1/dt
è la corrisp. componente della q. di moto.
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Punto 4.
Direi nessuna. Il teorema segue dalla rel. di commutazione
qp-pq = ihI. (+)
Potrebbe darsi (non ho controllato) che si possa anche partire dal
teorema di Robertson-Schroedinger, usando la coppia q, U(a) e la (*):
[q,U(a)] = a U(a).
Questo perché la (+) vale solo nel dominio di qp-pq, mentre la (*)
vale in tutto il dominio di q.
Ma forse non ha importanza.
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Elio Fabri
Received on Thu Oct 01 2020 - 15:44:15 CEST