Ciao, forse si tratta solo di uso improprio di
termini matematici. Ad essere rigorosi, il termine
"infinitesimo" in matematica non si puo' (piu') usare
nel modo che usi tu.
Se hai una funzione f=f(x) il differenziale nel punto z e'
la funzione lineare
df_z : v |-> (somma su i di) (_at_f/_at_x^i)|_z v^i
dove v^1,...,v^n sono le componenti di un vettore applicato
in z. Volendo possiamo indicare i numeri v^i con dx^i
Non c'e' alcuna necessita' logica di pensare le v^i come
numeri "infinitesimi" che in matematica moderna non vuol dire
nulla. In questo senso il differenziali dv^i sono numeri
arbitrari (anche grandi). E'chiaro che hanno senso fisico,
nel senso che df_z(v) e' una buona approssimazione (lineare)
dell'incremento f(z+v)-f(z) tanto piu' v e' piccolo.
Il punto centrale nei discorsi con i differenziali o
gli spostamenti virtuali e' che le componenti v^i si assumono
essere indipendenti l'una dall'altra. Questo fatto permette
di trarre molte conclusioni (per esempio si ricavano le equazioni
di Eulero-Lagrange). Nota che, anche in termini intuitivi, il fatto
che i dx^i siano indipendenti non e' in contrasto con l'idea che si
possano scegliere "infinitesimi"....
Ciao, Valter
Kickaha wrote:
> Ciao a tutti voi del ng.
> E' il mio primo post qui e spero di non offendere nessuno se � una richiesta
> d'aiuto anzich� una spiegazione...
>
> Ho un dubbio sulla lagrangiana che mi � venuto a seguito di uno dei corsi
> che sto seguendo quest'anno (5� anno ingegneria). Finora, in meccanica
> razionale ed affini, quando utlizzavo le variabili di lagrange per
> rappresentare uno problema fisico, non mi era mai soffermato sul legame che
> esiste tre esse e le variabili spostamento vere e proprie. O meglio,
> chiamato x lo spostamento e qn le variabili lagrangiane, per spostamenti
> virtuali abbiamo scritto:
> ______
> \ dx
> delta(x)= \ --- * delta(qn)
> / dqn
> /_____
> n=1,inf
>
> Dove con delta(x) indico la variazione virtuale degli spostamenti e con
> delta(qn) la "corrispondente" variazione delle variabili lagrangiane.
>
> Ora siccome il tutto � molto simile ad un differenziale, io ho sempre
> pensato che questa relazione valesse per spostamenti virutali INFINITESIMI
> del corpo (coi vincoli tenuti fissi). D'altra parte la dipendenza di x da qn
> non � certo "per forza" lineare.
> Il mio prof invece mi ha detto che lo spostamento � virtuale ed ARBITRARIO,
> nel senso che pu� essere anche finito, perch� la relazione scritta sopra
> vale per la configurazione attuale del corpo e quindi "va considerata
> istante per istante" (ho citato tra le virgolette; si parla di atti di
> moto?)
> Su un libro di meccanica razionale (non ricordo l'autore, ma non sono
> riuscito a trovare il Levi-Civita Amaldi in biblioteca) ho letto il
> contrario, ovvero che gli spostamenti considerati devono essere
> infinitesimi. La questione � "molto semplice" chi ha ragione? :o)
>
> Grazie per l'attenzione, spero di non avervi annoiato troppo :o)
>
> Ciao,
> Kickaha
>
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Mon Nov 03 2003 - 09:17:18 CET