Re: Campo vettoriale

From: Paolo Albini <spam.goes.here_at_tin.it>
Date: Tue, 28 Oct 2003 00:55:34 GMT

Il Mon, 27 Oct 2003 20:14:09 +0100, padrums.rinaldi_at_libero.it
(Padrums) scriveva:

>Valter Moretti ha scritto:

>> Un campo vettoriale invece e' una funzione. Devi avere come
>> enti elementari uno "spazio di punti" tale che abbia senso
>> parlare di vettori associati (applicati) ad ognuno dei punti
>> (tecnicamente deve essere una varieta' differenziabile o piu'
>> elementarmente uno spazio affine).
>
>
>ti ringrazio.
> Quindi un campo vettoriale tutto sommato � uno spazio affine?

No; in parole povere uno spazio affine e' un insieme alle cui coppie
ordinate di punti siano associati i vettori di uno spazio vettoriale,
e in maniera tale che scelto un punto di riferimento si possa
identificare ognuno degli altri con un vettore e che "valga la regola
del parallelogrammo" (se non sai cos'e', ho usato un'espressione che
non mi piace inutilmente: per buona pace mia e tua esplicito:
l'associazione dev'essere tale che la somma del vettore associato alla
coppia (p,q) con quello associato alla coppia (q,r) deve essere uguale
al vettore associato a (p,r), per qualsiasi p,q,r appartenenti
all'insieme di partenza. Nota anche che l'associazione e'
necessariamente molti a uno, cioe' a piu' coppie sara' associato lo
stesso vettore.), mentre quando si parla di campo vettoriale su uno
spazio affine dato si intende una funzione dallo spazio affine stesso
(ma sarebbe meglio dire dall'insieme da cui siamo partiti) a quello
vettoriale a lui associato.

Per riassumere invece con un linguaggio un po' piu' tecnico, che in
matematica solitamente e' piu' chiaro, uno spazio affine (reale
n-dimensionale) e' la struttura definita dalla terna (E, V, f) dove E
e' un generico insieme, V uno spazio vettoriale (reale
n-dimensionale), e f una funzione da E x E (l'insieme delle coppie
ordinate che si possono formare con elementi di E) in V tale che per
ogni p in E e v in V esista uno e un solo q in E tale che f(p,q) = v,
e per cui valga la condizione che ho gia' espresso sopra. Un campo
vettoriale su (E, V, f) invece e' semplicemente una funzione da E in
V.

Puo' valere la pena sottolineare quello che credo sia il motivo per
cui Valter si e' sentito in dovere di tirare in ballo varieta'
differenziabili e spazi affini: quando si parla di vettori in un
contesto prettamente fisico solitamente non si intende genericamente
oggetti che possono essere visti come parte di uno spazio vettoriale,
ma solo quelli che, per dirla "vecchio stile", "si trasformano in una
determinata maniera sotto determinate trasformazioni del sistema",
cioe' in sostanza quelli appartenenti allo spazio V delle traslazioni
per uno spazio affine, oagli spazi tangenti per una piu' generica
varieta' differenziabile, dove lo spazio affine o la varieta'
differenziabile modellano solitamente lo spazio - o lo spaziotempo -
fisico..

Spero di essere stato comprensibile e di non aver scritto troppi
svarioni, nonostante l'orario...

Ciao,
     Paolo.
Received on Tue Oct 28 2003 - 01:55:34 CET