Proseguo il discorso di ieri.
La curiosa forma "a bacio" che si vede nell'esperimento è dovuta al
fatto che gli atomi non sono esattamente collimati: ce ne sono un po'
che attraversano il campo fuori asse, a destra o a sinistra, dove il
gradiente del campo è minore.
Ne segue che questi atomi arrivano sulla lastra in posizioni non
centrali perché sono stati emessi obliquamente, e con deviazione
verticale pogressivamente minore in proporz. al decremento del
gradiente del campo.
Nel seguito mi concentrerò sulla parte centrale della figura, dove è
netta la divisione in due macchie.
Due macchie significa due valori di Mz, che non si spiegano fcilmente
con la quantizz. del momento angolare J.
Infatti se J=0 avremo una sola macchia (un solo valore di Jz e di Mz).
Se J=1 i valori di Jz sono tre: +hbar, 0, -hbar e lo stesso accadrà
per Mz. Dovremmo quindi vedere *tre* macchie, non due.
In generale, il numero di autovalori di Jz è 2J+1, quindi due
autovalori significa J=1/2: valore non permesso dalle condizioni di
quantizzazione di Bohr-Sommerfeld, allora usate.
Che questo significasse la presenza di uno spin dell'elettrone, con
s=1/2, sarebbe stato capito qualche anno dopo, mentre l'idea dello
spin nacque per altra via (1925).
E' solo uno degli strani pecorsi che si trovano nella storia della
scienza.
Confesso di non sapere se l'esp. S-G sia mai stato ripetuto con atomi
il cui stato fondamentale abbia J=1.
Non so neppure se esistano...
Ma perché li tiro in ballo?
Perché l'esp. S-G ripetuto con un tale atomo darebbe *tre* macchie, e
non si potrebbe dire quello che mi pare abbia detto il nostro "homo
sovieticus": che l'apparato di misura "forza l'allineamento".
Non è così: se misuro Jz lo stato dopo la misura sarà autostato di Jz,
Il che però non significa affatto (in generale) momento angolare (e
magnetico) allineato col campo.
A questo proposito c'è da precisare una cosa, che qualcuno ha detto e
che è vera solo per spin 1/2: che i diversi stati differiscano solo
per l'orientazione del mom. angolare.
Questo è vero per S=1/2, ma non lo sarebbe per S=1 o maggiore.
Se prendiamo lo stato S=1, Sz=0, *non esiste* nessuna direzione (x, y,
o altra qualsiasi) tale che la componente del vettore S in quella
direzione abbia valore definito.
Questo mostra che non si può capire la m.q. a forza di analogie.
I vettori J e M quantistici non si comportano come quelli classici!
Qualche volta l'analogia funziona bene; altre volte funziona
all'incirca, ma ci sono casi in cui mette inesorabilmente fuori
strada.
C'è ancora un punto che debbo esaminare: che csa misura S-G?
L'ho già detto: in realtà misura la posizione degli atomi sulla
lastra.
Ma allora in che senso misura (anche) Jz e Mz?
Cominciamo col chiarire qual è lo stato di un atomo che ha
attraversato il campo magnetico ma non ha ancora atterrato sulla
lastra.
Qualcuno potrebbe pensare che possa esere diverso da un atomo
all'altro: deflessione verso l'alto , con Jz=1/2 oppure defl. verso il
basso con Jz=-1/2.
*Non è così!*
Nel mio post precedente ho scritto:
> Secondo la fisica classica, dovremmo aspettarci che gli atomi, anche
> se tutti identici, quando escono dal fornetto abbiano i loro mom.
> ang. *orientati a caso*, quindi con componenti z costanti per
> ciascun atomo ma distribuite (uniformemente) tra un massimo positivo
> e un minimo negativo. Massimo e minimo dettati del modulo del mom.>
> angolare.
Ma non ho detto qual è invece la descrizione quantistica.
Per il caso S=1/2 resta vero che l'insieme degli atomi è un insieme
statistico, con mom. ang. orientati a caso.
Ma (sempre per spin 1/2) orientato a caso equivale a dire che lo stato
di ciascun singolo atomo sarà una *sovrapposizione* degli autostati di
Sz: |+1/2> e |-1/2>.
Sovrapposizione con coeff. complessi:
a |+1/2> + b |-1/2>
con |a|^2 + |b|^2 = 1. (*)
Per quell'atomo la misura di Sz darebbe +1/2 con prob. |a|^2, e -1/2
con prob. |b|^2.
In realtà niente vieta di prendere a reale in [0,1].
Se gli atomi sono orientati a caso, avremo una distrib. di probablità
per a, che non sto a scrivere.
Su b posso evitare di approfondire.
Ma lo stato dell'atomo richiede che si specifichi anche lo stato per
quanto riguarda le osservabili "spaziali", ossia posizione e impulso
del cdm.
Possiamo assumere senza restrizione essenziale che all'uscita del
selettore di velocità lo stato spaziale sia lo stesso per tutti gli
atomi, e trascurare la coord. y: x è diretta come il moto degli atomi,
z come il campo magnetico.
Mi basta indicare il valor medio di x, di z, di px e di pz, con questa
notazione:
|x,px,z,pz>
che sta a indicare un "pacchetto d'onda" che ha posizione media (x,z) e
impulso medio (px,pz).
In assenza di campo px e pz sono costanti, e così pure z se pz=0.
Invece x varia nel tempo:
x(t) = x(0) + (px/m)t.
Avremo quindi
|x(t),px,0,0>.
Che effetto ha il campo?
Qui le cose si complicano: c'è la deflessione, che significa variare
pz e quindi z(t), mentre per x e px non cambia niente.
Per evitare complicazioni inutili, mi limito a scrivere lo stato
immediatamente prima dell'arrivo sulla lastrina, ossia a un t fissato:
t = t1
Avremo
|x1,px,z1,pz1>
dove
- x1 = x(t1)
- px è sempre lo stesso
- z1 è il valor medio di z per t=t1, che non è più nullo a causa della
deflessione e non sto a precisare (ma vedi fra poco)
- pz1 come z1.
Il problema è che la deflessione dipende dal valore di Sz (è proporz.
a Sz); qualcosa come
z1 = 2f*Sz, pz1 = 2g*Sz
(vedrete fra poco perché ho messo il fattore 2: pura comodità).
Ma Sz non è determinato per uno stato generico: dobbiamo distinguere i
due casi possibili (+1/2 e -1/2) e fare la sovrapposizione.
- per Sz=+1/2 abbiamo z1 = f, pz1 = g
- per Sz=-1/2 abbiamo z1 = -f, pz1 = -g.
Per la sovrapposizione:
a |x1,px,f,g,+1/2> + b |x1,px,-f,-g,-1/2>.
Debbo ancora dire qualcosa su a e b.
Ricorderete che ho detto che Sz è costante, ma lo spin fa una
precessione attorno a z.
Ciò significa che posso prendere a costante, ma b deve variare in
qualche modo. FateVi grazia della spiegazione completa: b è costante
in modulo (per forza, visto che vale sempre la (*) a ogni tempo) e
varia nel tempo solo per un fattore di fase, che non starò a
specificare.
Continuerò a scrivere b per il valore che assume al tempo t1: serve
solo ricordare che b non è lo stesso da un atomo all'altro.
Posso anche semplificare un po' la notazione, tralasciando x1,px,pz1
(che è proporz. a z1 = +/-f:
a |f,+1/2> + b |-f,-1/2>.
Così si vede bene che z1 e Sz sono strettanente correlate: quando Sz
vale +1/2, z1 vale +f, ecc.
Posso addirittura dire che z1 *è funzione* di Sz e viceversa:
Sz = z1/(2f).
Ecco in che senso l'esper. di S-G, che direttamente misura z1, misura
anche Sz.
E' ovvio che nelle condizini dell'esper. i due valori +f e -f per z1
sono equiprobabili, e lo stesso accade quindi per Sz con valori +1/2 e
-1/2.
Ma c'è una precisazione non di poco conto: qui la probabilità entra
per *due diverse ragioni*.
La prima è una probab. statistica (nel senso della meccanica
statistica): nell'esper. entrano atomi che non sono tutti nello stesso
stato, ma occupano stati diversi a causa dell'equilibrio statistico
che si produce nel fornetto.
Ma anche se avessimo invece atomi tutti nello stesso stato di spin:
a |+1/2> + b |-1/2>
quando misuriamo Sz avremmo solo risultati +1/2 e -1/2 con probab.
|a|^2 e |b|^2.
Sarebbe possibile realizzare questa situazione?
Sì, combinando due apparati S-G in cascata, coi campi magnetici non
paralleli, e selezionando tra l'uno e l'altro solo uno dei due fasci
che formerebbero le due macchie.
Guardate le figure in
https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment#Sequential_experiments
Solo le figure, perché la spiegazione non è corretta.
Non sto a spiegare come e perché, altrimenti faccio notte :-)
--
Elio Fabri
Received on Sat Oct 24 2020 - 18:15:47 CEST