Re: Simmetrie di una metrica

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 13 Oct 2003 20:41:09 +0200

Massimo S. ha scritto:
> Non credo di aver ben compreso il concetto di invarianza o simmetria
> di una metrica.
Anche tu, a che punto di studi sei?
Mi pare che non sei nuovo del NG, e forse lo hai gia' detto, ma non me
lo ricordo.

> Riesco a barcamenarmi nel caso semplice di piano euclideo con metrica
> (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 e la sua invarianza per traslazioni.
> Ragiono cos�: se in un punto (x1,y1) vale la metrica di cui sopra, si
> avr� la stessa metrica (ovvero la metrica � invariante) in un punto
> traslato (x2,y2) = (x1+k1,y2+k2) perch� dx2 = d(x1 + k1) = dx1 e
> similmente per y.
> Per� non riesco a "vedere" la cosa per la simmetria sferica della
> metrica di una superficie sferica di raggio unitario
>
> (ds)^2 = (d theta)^2 + {sin[theta (d phi)^2]}^2 con theta che varia
> da 0 a pi-greco e phi che varia da 0 a 2pi-greco.
>
> Intanto non sono neanche sicuro di aver scritto bene la metrica, cio�
> se (d phi)^2 fa parte dell'argomento del seno quadro come ho scritto o
> se invece (d phi)^2 � "fuori" a moltiplicare il seno quadro.
E' questo che mi ha sconcertato...
Non sai che una metrica e' una forma quadratica nei differenziali delle
coordinate? E' giusta la seconda...

> Poi riesco ad applicare il mio ragionamento solo per phi, cio� se da
> phi1 mi sposto a phi2=phi1 + k la metrica non varia perch� d phi2 > d(phi1 + k) = d phi1 ma non per theta.
>
> Probabilmente ragiono in modo sbagliato, qualcuno vuole spiegarmi come
> � in realt� la questione ?
Il punto e' che devi prima stabilire qual e' la mappa (trasf. da un
punto a un punto) rispetto alla quale dovrebbe valere l'invarianza.
Nel nostro caso si tratta di una qualsiasi rotazione: dovresti quindi
trovare le formnule ditrasformazione per theta,phi sotto una generica
rotazione...
Si fa, naturalmente (angoli di Eulero, se ci siete battete un colpo
;-) ) ma e' tutt'altro che semplice. Ci vuole la trig. sferica, ecc.

Molto piu' semplice ragionare cosi': considera la sfera immersa in
R^3, con le usuali coord. cartesiane.
La metrica che hai scritto e' quella indotta sulla sfera dalla metrica
euclidea dx^2 + dy^2 + dz^2, mentre l'eq. della sfera e' x^2 + y^2 +
z^2 = 1.
Ora pensa a una rotazione di R^3, che si fa con una trasf. lineare
ortogonale: questa lascia ovviamente invariante la distanza dal
centro, e quindi manda i punti della sfera in punti della sfera; e'
quindi anche una mappa della sfera in se'.
Inoltre la metrica di R^3 e' invariante per rotazioni, quindi...
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
Received on Mon Oct 13 2003 - 20:41:09 CEST