Re: Max Velocità

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 10 Oct 2003 20:37:29 +0200

Giorgio Pastore ha scritto:
> ...
> Una lunghezza in metri NON e' adimensionale. Cosa significa che un'
> unita' di misura per una certa grandezza ha "dimensioni"? Solo che e'
> omogenea (confrontabile) con unita' che hanno le stesse "dimensioni".
> La fisica mi permette cioe' di creare delle classi di equivalenza di
> proprieta' direttamente confrontabili. Un metro e' confrontabile con
> un pollice (sistema anglosassone) perche' posso esprimere il "cambio
> ufficiale tra i due. Un eV NON ha le stesse dimensioni di un metro
> perche' non posso stabilire una procedura fisica che mi permetta di
> trovare un "cambio ufficiale" tra eV e metri. In principio ci
> sarebbero tante "dimensioni" quante proprieta' fisiche ma la
> successiva elaborazione dei concetti ci mostra che si possono
> stabilire delle relazioni che ci permettono di ridurre le "dimensioni"
> indipendenti a poche.
Tutto bene, ma secondo me hai omesso alcuni punti cruciali.
Te li indico sotto forma di domande:
- Che cosa ci obbliga a dire che un'area ha dimensioni di quadrato di
una lunghezza? E' necessariamente cosi'?
- Come si spiega che esistono diversi sistemi di unita', in cui la
stessa grandezza ha dimensioni diverse? (pensa alle unita' elettriche)

> ...
> Nel concetto di angolo non c'e' una connessione diretta alle
> lunghezze. E naturalmente un angolo non e' omogeneo ad una lunghezza
> (non si sommano angoli e segmenti...).
Obiezione marginale: il criterio di omogeneita' e' piu' complesso:
non si sommano neppure energie e momenti angolari...

> A qusto punto torniamo all' algebra delle quantita' dimensionate. Che
> ruolo giocano grandezze come i radianti che non hanno dimensione ?
> Quello di unita' neutre della moltiplicazione tra grandezze:
>
> [lunghezza] * []^0 = [lunghezza] ( o qualsiasi altra cosa al posto
> di lunghezza).
>
> Riassunto di tutto il discorso: quantita' espresse da unita' di misura
> adimensionali possono essere trattate tranquillamente come numeri
> puri. La "dimensione" radiante serve solo da promemoria del modo con
> cui ho misurato gli angoli ma nell' algebra delle dimensioni non
> interviene.

Piccola premessa: stamattina sono andato in biblioteca a guardare il
libro di Arons che avevi citato, per l'angolo grandezza adimensonale
con unita' di misura.
Era un libro che non avevo mai letto, ma molto sentito citare.
Bene: almeno per la questione in oggetto sono rimasto assai deluso: se
la sbriga in pochissime righe, con un'affermazione apodittica senza
giustificazione.
Fine della premessa.

Il mio punto di vista su dimensioni e unita' e' alquanto diverso e
forse eterodosso (l'avevo gia' scritto...).
L'argomento dimensioni e' strettamente legato a quello sulle grandezze
fondamentali di un sistema (coerente) di unita'.

Mi fermo un momento su questo punto, perche' ricordo un post di
qualche tempo fa, che purtroppo non ho marcato, nel quale era evidente
l'idea che grandezza "fondamentale" significasse solo "importante",
mentre in metrologia la parola ha un significato tecnico preciso.
Grandezze fondamentali sono quelle che hanno un'unita' di misura
_indipendente_, mentre si chiamano "derivate" quelle le cui unita' sono
espresse a partire dalle prime, mediante relazioni fisiche assunte:
esempio banale velocita' = spazio/tempo.
Nel SI si dice che le gr. fond. sono 7. Scrivo "si dice" perche'
secondo me non e' vero...

Si e' deciso da tempo che l'area e' il quadrato di una lunghezza, non
perche' *e' cosi'*: si potrebbero benissimo usare unita' indipendenti,
come nel sistema inglese, dove gli acri non hanno niente a che fare coi
piedi quadrati.
Ma dato che in geom. euclidea vale la legge di similitudine, per cui
l'area di figure simili sta nel quadrato del rapporto delle lunghezze,
si e' trovato comodo riferire l'area campione alla lunghezza campione.
E' solo a questo punto che si puo' dire che un'area ha dimensione di
quadrato di una lunghezza: cio' vuol dire che le loro unita' di misura
sono vincolate in quel modo, per cui quando cambia l'una deve cambiare
anche l'altra, secondo la legge stabilita dalle dimensioni.

Venendo agli angoli, ci sono quindi due scelte:
a) Trattarli come grandezze indipendenti (quindi fondamentali) con
unita' di misura proprie, che si possono definire e scegliere a
piacere. In questo caso esiste una dimensione [angolo] e gli angoli
non sono numeri puri.
b) Stabilire un legame con altre grandezze geometriche, per es. la
relazione tra arco, raggio e angolo al centro. In questo caso angolo =
arco/raggio, l'angolo e' un numero puro, e non si deve usare *nessuna*
unita', neppure il radiante.

E' interessante che la delibera del BIPM che stabiliva le unita' del
SI nel 1975 lasciava liberi di comportarsi per gli angoli come si
preferisce: strano modo di definire un sistema di unita'...
Ma non e' l'unica stranezza: data la definizione dell'ampere, la
corrente *non e'* una gr. fondamentale, poiche' la sua unita' e'
agganciata in modo fisso a quelle di lunghezza e di forza.
Lo stesso vale per la candela e per la mole.
In seguito anche l'unita' di lunghezza e' stata agganciata a quella
di tempo, e da quel momento anche la lunghezza ha cessato di essere una
gr. fondamentale...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Oct 10 2003 - 20:37:29 CEST