GiantPM ha scritto:
> Suponiamo di avere un sistema fisico descritto da un Hamiltoniana H.
> Supponiamo inoltre che G sia il gruppo delle sue simmetrie, cioe'un
> gruppo rispetto alle cui trasformazioni spazio temporali il sistema
> fisico sia invariante.
> Ponendo che si abbia che [T,H]=0 , dove T sono tutti gli operatori che
> rappresentano il gruppo, e ponendo anche che tutti gli operatori che
> generano le trasformazioni infinitesime del gruppo commutino fra loro,
> allora si puo'dire che lo spettro energetico non avra'degenerazione
> dovuta a quel gruppo?
In altre parole, G e' commutativo...
Bene: puoi dire che non c'e' nessuna ragione per avere degenerazione,
ma a rigore potresti bnissimo averla, non e' proibito.
> La cosa varra'per qualsiasi osservabile Q t.c. [Q,T]=0?
Che vuoi dire? Se e' una sola osservabile, certamente.
> Se e'cosi'come si puo'dimostrare e quale e'il significato fisico della
> cosa?
Il nocciolo della dimostrazione sta qui.
Si dimostra che i sottospazi invarianti minimi di G sono autospazi di
H, con autovalore unico per un dato sottospazio.
Se tali sottospazi hanno dimensione maggiore di 1, questo implica
degenerazione.
Pero' se G e' commutativo i sottospazi invarianti minimi sono
unidimensionali, quindi non si puo' concludere niente sulla
degenerazione.
Se vuoi capire meglio la dimostrazione, devi sapere alcne cose su
gruppi e rappresentazioni. Non so quanto ne sai.
Puoi guardare
ftp://osiris.df.unipi.it/pub/sagredo/gruppi
Ci trovi gli appunti di un breve corso sull'argomento.
Quanto al significato fisico, non so che dirti: dipende da che cosa
chiami "significato fisico".
Ho paura che quello che potrei dirti non sarebbe che una parafrasi del
risultato matematico.
Posso farti un esempio: sia G il gruppo delle rotazioni, e considera
un'autofunzione di H che non sia invariante per rotazioni.
E' facile dimostrare che se applichi a questa autofunzione una
rotazione, ottieni ancora un'autofunzione con lo stesso autovalore,
che e' linearmente indip. dalla prima: quindi l'autovalore e'
degenere.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Sep 11 2003 - 20:58:20 CEST