Franco ha scritto:
> Questo e` dovuto al fatto che la densita` e` proporzionale a M/R^3
> (M massa del pianeta e R raggio del pianeta), mentre l'accelerazione
> di gravita` e` proporzionale a M/R^2, sempre con altri fattori
> costanti. Per passare da un mondo all'altro serve conoscere il
> raggio del pianeta.
Sono d'accordo. Però, visto che avete citato il mio Q16, faccio un
paio di precisazioni.
La prima è che a pag. 138 c'è già la risposta. Copio:
"Allo stesso modo, la curvatura in vicinanza del Sole dipenderà solo
dalla densità media del Sole. Questa è minore, ma non di molto, da
quella della Terra; quindi i raggi di curvatura dello spazio-tempo
vicino alla Terra o vicino al Sole non sono molto diversi."
Aggiungo qualche informazione numerica (vado a memoria).
La densità media del Sole è circa 1500 kg/m^3; quella della Terra è
5500 kg/m^3, ossia meno di 4 volte maggiore.
La curvatura va come rho, quindi è 4 volte maggiore
sulla Terra.
Però la curvaura è definita come 1/Rc^2, quindi il raporto dei raggi
di curvatura è circa 2.
> Se vuoi passare dalla curvatura all'accelerazione di gravita`,
> sapendo di cambiare completamente "lingua", da relativistica a
> classica, una formula c'e`,
>
> g=(c^2 R)(2 Rc^2) dove Rc e` la curvatura, R il raggio del pianeta,
> c la velocita` della luce.
La formula va bene, a patto però di tener presente che nello
spazio-tempo non si può parlare di *una* curvatura.
Quello della formula è il raggio di curvatura (non la curvatura, che è
1/Rc^2) della sezione (t,z).
La questione è accennata in fondo a pag. 139:
"Se le dimensioni sono più di due non basta un solo numero per
caratterizzare le proprietà di curvatura della varietà. Ciò accade
ovviamente per lo spazio-tempo: per descrivere completamente la
curvatura occorre il tensore di Riemann. Questo tensore ha una sola
componente indipendente in due dimensioni, ma più d'una se le
dimensioni sono 3 o più (nello spazio-tempo sono ben 20)."
Aggiungo che il numero 20, che è n^2*(n^2-1)/12, deriva dalla
definizione del tensore di Riemann, che non posso dare qui (se interessa
la trovate nei miei appunti (afrel o irg).
Mi limito a chiarire un punto. Nel Q16 si parla solo di deviazione
delle geodetiche, e si potrebbe pensare che misure di dev. delle
geodetiche in diverse sezioni dello spazio-tempo permettano di
determinare il tensore di Riemann.
Nasce però una difficoltà: le possibili sezioni sembrano soltanto 6:
(x,t), (y,t), (z,t), (x,y), (x,z), (y,z). Come si possono ricavare 20
numeri da 6 misure?
In effetti, se il tensore di Riemann fosse un vettore, non ci sarebbe
problema: la conoscenza delle componenti secondo t, x, y, z determina
completamente il vettore.
Coi tensori va diversamente. Pensiamo al caso 3D e al tensore degli
sforzi, che è di rango 2 simmetrico, quindi ha 6 componenti
indipendenti: Txx, Tyy, Tzz, Txy, Txz, Tyz.
A prima vista la misura della componente normale lungo tre direzioni
permette di ricavare solo le componenti diagonali: Txx, Tyy, Tzz.
Ma se aggiungiamo le misure lungo altre direzioni, per es. le
bisettrici degli assi, si verifica che il tensore si determina
completamente.
Per quanto più complicato, lo stesso è vero per il tensore di Riemann
e le deviazioni delle geodetiche.
Se si usano non solo deviazioni come (t,x) ecc, ma anche quelle in
piani orentati in altre direzioni, si vede che il tensore di Riemann è
del tutto determinato da un numero sufficiente di deviazioni
geodetiche.
Per finire: tutto questo ovviamente riagurda un livello più elevato di
studio. Nel Q16, dedicato alla scuola secondaria, ritengo sufficienti
quei semplici cenni.
Aggiungendo l'osservazione che in casi non strambi, piuttosto regolari
come i pianeti, le diverse deviazioni geodetiche non differiscono
molto; per cui una o due possono bastare se siamo interessati
all'ordine di grandezza e ai parametri da cui dipende.
I problemi 1 e 4 riguardano il calcolo nella sezione (t,x), che
fornisce una curvatura di segno opposto e valore metà della (t,z).
--
Elio Fabri
Received on Tue Jan 12 2021 - 10:48:40 CET