Re: Metropolis, Phi**4 e Boltzmann

From: ulrich laverdure <uli_at_azioneparallela.spammatassoreta.com>
Date: Thu, 28 Aug 2003 14:28:22 +0200

Artistico dixit:

> misura e l'altra. Ora, se non mi inganno, le varie misure dovrebbero
> essere distribuite rispettando Boltzmann, ma le trovo disposte attorno
> al valore medio in modo gaussiano

Ecco la risposta pi� articolata:

come ben sai l'azione nell'euclideo � l'energia, quindi la tua teoria di
campo � diventata un sistema di meccanica statistica, che tu simuli
nell'ensemble canonico. Ora, se � vero che l'algoritmo di Metropolis �
studiato per estrarre configurazioni di campo pesate con il fattore di
Boltzmann exp(-beta E), � anche vero che i valori dell'energia (o azione,
se vuoi) saranno distribuiti in questo modo:

P(E) dE \propto exp(-beta E) g(E) dE

dove g(E) � la densit� degli stati. g(E) � una funzione velocemente
crescente di E (lo stato di energia minima sar� uno solo, cio� quello
con tutti i campi a zero, mentre hai circa infiniti modi possibili di
realizzare uno stato con un'energia arbitraria E_1), e il prodotto g(E)
exp(-beta E), nel limite termodinamico, diventa una gaussiana molto
piccata intorno al valore d'aspettazione dell'energia, appunto
(esattamente al limite diventa una delta).

Se vuoi approfondire la questione puoi prendere un qualsiasi testo di
meccanica statistica.

Per quanto riguarda phi^4, come esercizio � ottimo ma tieni conto che il
Metropolis non � il modo migliore di simularlo, soprattutto se scegli i
parametri bare della lagrangiana in modo da metterti nella fase
spontaneamente rotta: in quel caso, se il volume fisico del sistema non �
troppo piccolo, il Metropolis, che � un algoritmo locale, non riesce a
far saltare il sistema da un minimo all'altro (o almeno, devi aspettare
tempi che crescono esponenzialmente con la taglia del reticolo), e rimani
facilmente intrappolato in una zona ristretta dello spazio delle fasi. Per
risolvere questo problema sono stati sviluppati algoritmi di cluster, che
updatano simultaneamente larghe zone del reticolo, ma questo margine �
troppo stretto eccetera :)

ciao
u.
Received on Thu Aug 28 2003 - 14:28:22 CEST