Re: QED e seconda quantizzazione

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 03 Aug 2003 18:37:49 +0200

gigi ha scritto:
> sto leggendo le "lezioni" del prof Fabri sull'elettrodinamica
> quantistica...mi piacciono molto, ma per capirci qualcosa mi sto
> aiutando moolto anche su qualche testo "serio" di QED e QFT. non che
> le "lezioni" non siano serie, ma rappresentano, come dice anche il
> Fabri, una "breve storia" della QED, e sono comprensibili al meglio
> solo per gli addetti ai lavori (il prof. Fabri ci ha provato e il
> risultato � pi� che buono, ma personalmente penso che sia impossibile
> spiegare in modo semplice certi argomenti di fisica teorica a chi non
> � del settore).

A dire il vero la mia intenzione era diversa: in primo luogo non si
tratta di "lezioni"; secondo, il destinatario era piuttosto una
persona genericamente interessata (in modo serio) ma senza una
preparazione specifica in fisica teorica. Se mai, il complemento
naturale sarebbe il ... libretto di Feynman.
Tu ti poni problemi di ben altro livello, e fai bene, intendiamoci; ma
certo non potevi trovare li' le risposte...

> non ho capito per� un paio di cose:
>
> "abbiamo quantizzato il "campo di Dirac", e poich� questo nasce gi� da
> una quantizzazione (la teoria quanto-relativistica di Dirac) abbiamo
> fatto una "seconda quantizzazione" "
>
> ok, ma la "prima" quantizzazione era ottenuta, diciamo, trattando le
> osservabili fisiche come operatori quantistici e sottoponendo questi
> ad opportune regole di quantizzazione. per esempio le coordinate
> canoniche x e p...ecc.ecc.
>
> nella "seconda quantizzazione" invece sono le vecchie funzioni d'onda
> che diventano operatori, e devono cos� soddisfare opportune relazioni
> di (anti)commutazione...
OK

> ma cosa ne � delle vecchie x?? restano operatori? valgono ancora le
> relazioni di commutazione? dalla trattazione del libro sembra che esse
> tornino ad essere le vecchie coordinate classiche (anzi nella
> formulazione covariante le x vengono associate al tempo t), ma non ho
> trovato niente in proposito..
Infatti e' cosi'. Nota che nella m.q. di prima quantizzazione c'e' una
sostanziale dissimmetria fra il tempo e le coord. spaziali: mentre le
seconde sono operatori, il tempo non lo e': resta la variabile
indipendente della meccanica classica.
Invece in una teoria di seconda quantizzazione, ossia in una teoria
quantistica di campo (relativistica o no) x, y, z, t sono le variabili
indipendenti da cui dipendono gli operatori di campo.

> un'altra cosa:
> come si fa a trovare le lagrangiane?
> in un sistema meccanico classico e libero direi che L=-T,
Veramente L = T, ma fa lo stesso.

> ... ma nel mio libro di QFT l'espressione della densit� di Lagrangiana
> di un campo libero viene data senza troppe giustificazioni, dicendo
> poi che � giusta perch� imponendo a questa le equazioni di
> Euler-Lagrange ri-ottengo le equazioni del moto che gi� conosco (Klein
> Gordon per i bosoni, Dirac per i fermioni). e grazie tante..non
> dovrebbe esserci un procedimento pi� serio per il calcolo di L?

Questo in realta' non e' un problema quantistico: lo stesso problema
lo hai se vuoi scrivere la lagrangiana di un sistema continuo, ad es.
una corda vibrante. Posso indicare due metodi:

a) Discretizza la corda come un insieme di punti materiali con
interposte astine rigide prive di massa, scrivi la lagrangiana di
questo sistema, poi passa al limite.
b) Se la corda e' tra estremi fissi, sviluppa la funzione y(x) in
serie di Fourier, e usa i coeff. di Fourier come coordinate
lagrangiane. Esprimi energia cinetica e potenziale in termini dei
coeff. di Fourier, calcola la lagrangiana, e ritorna alle coord. di
partenza.

Una volta imparato come si scrive la lagrangiana in questo caso, e'
facile generalizzare a onde in tre dimensioni, poi tener conto che i
quanti hanno massa (Klein-Gordon).
Meno ovvio scrivere la lagrangiana di Dirac, ma dopo che uno ha
pasticciato un po' con le lagrangiane di campi, impara il trucco...

> e la lagrangiana di interazione??
> le lezioni Fabri dicono che essa consiste (a meno di qualche matrice
> gamma di Dirac) in un prodotto di 4 fattori (carica e, 4-potenziale A,
> campo psi e campo aggiunto psi barra)...
> ok ma che cos'� la lagrangiana di interazione? cio� come si calcola in
> generale? ho il sospetto che in realt� coincida con il potenziale
> negativo, o forse con l'hamiltoniana di interazione, ma -come dice
> anche Fabri- quest'ultima non � neanche uno *scalare*, dato che � la
> componente T_00 del tensore energia-momento.
Quando l'interazione non contiene le derivate dei campi, la Lint
coincide con Hint cambiata di segno, come nel caso classico: H = T +
V, L = T - V. Nel caso QED, ad es., c'e' solo da fare il prodotto
scalare fra quadricorrente e quadripotenziale.
Un altro metodo per arrivarci e' quello del "minimal coupling" (che
e' il punto di partenza delle teorie di gauge): si sostituisce nella
lagrangiana libera ogni derivata rispetto alle coord. spazio-temporali
con _at_+ieA.

Spero di essere stato suff. chiaro; se no, chiedi ancora.
Received on Sun Aug 03 2003 - 18:37:49 CEST