Salve a tutti,
consideriamo una funzione f(x,y,z) sviluppabile in integrale di Fourier
3-dim. (tale funzione pu� essere ad es. un campo scalare di fluttuzioni di
densit�).
Scriviamo lo sviluppo di Fourier:
f(x,y,z)=Integrate[g(kx,ky,kz)*exp(x*kx+y*ky+z*kz),{kx,-oo,+oo},{ky,-oo,+oo}
,{kz,-oo,+oo}] (1)
La (1) decompone il campo scalare f(x,y,z) nelle sue componenti
monocromatiche. In particolare g(kx,ky,kz)d^3k � l'ampiezza delle componenti
monocromatiche il cui vettor d'onda � compreso tra k e k+d^3k. Quindi,
g(kx,ky,kz) � la "densit� spettrale" (ampiezza delle componenti di Fourier
per intervallo unitario).
Fin qui, ok.
Adesso considero il caso speciale in cui la distribuzione delle componenti
di Fourier sia isotropa. Ci� implica che la g(kx,ky,kz) dipende dal vettore
d'onda attraverso il suo modulo, cio� � g(k). Passando a coordinate sferiche
(k,theta,phi) nello spazio k e orientando l'asse kz parallelamente al
vettore (x,y,z), la (1) diventa:
f(r)=Integrate[k^2*g(k)*exp(ikrcos(theta))*sin(theta),{k,0,+oo},{theta, 0,
pi},{phi, 0, 2*pi}] (2)
Calcolando l'integrale sulla variabile angolare theta, si trova:
f(r)=(4 pi/r)*Integrate[k*g(k)*sin(k*r),{k,0,+oo}] (3)
Banalmente la (3) mi sta dicendo che se ho una spazio k isotropo, il
corrispondente spazio fisico � altrettanto isotropo.
Per�, non ho capito il significato fisico di r^-1 davanti all'integrale
nella (3), in quanto per r->0 la f(r) oscilla violentemente (ho provato con
degli esempio semplici con una g(k)=(sin(k-k0))/(k-k0). Per contro, nel
limite r->oo le oscillazioni sono smorzate. Se f(r) � un campo di
fluttuazioni di densit� significa che il prezzo che devo pagare per avere
fluttuzioni isotrope � che queste per r->0 vanno a +oo??
Grazie a chi mi risponder�
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extrabyte
Received on Sat Jul 05 2003 - 15:58:09 CEST