Re: esercizi cattivi su forme differenziali lineari (Analisi2)

From: Francesco Murolo <fmurolo_at_libero.it>
Date: Tue, 01 Jul 2003 11:27:27 GMT

bhe cominciamo con l'aggiustare qualche errore di copia ed incolla e di
battitura veloce che sempre mi capita.
"Quindi la forma � definita in R^2 che � connesso." , ma era ovvio.
"Cosi facendo ottieni [x((y(1 -y^2/2) - y - y^3/3!)] / y^2 ? [ x(y -y^3/2 -
y
+y^3/3!) ]/y^2", in quest'ultima ci voleva un quadrado al denominatore e non
un cubo.

Veniamo a qualche altro spunto, perch� non mi va di fare (pi� che altro
scrivere) tutti gli esercizi.
1) b) Come si f�?
Non sempre puoi evitare le integrazioni. Accertato che sia una forma diff
esatta, e questo lo puoi fare usando il teorema di Schwartz, cio�
controllando che le derivate parziali in croce siano uguali. Mi spiego
meglio:
Sia w = f1(x,y)dx + f2(x,y)dy devi verificare che sia df1/dy =df2/dx, dove
qui l'operatore d � la derivata parziale. Questo ti servir� anche per gli
altri esercizi, per questo es. � scontato dal testo.
In questo credo debba necessariamente fare le integrazioni. Cos�:
Scegli uno punto A(x1,y1) poi il punto P(x,y), integrale della forma
differenziale se esatta non dipende dal percorso perci� pu� convenire
spezzare l'intgrale di w in due parti. La prima da A a B(x,y1) in cui varia
solo la x la y rimane costante ad y1 quindi il secondo pezzo (quello in dy)
non ci sar� e la seconda da B a P in cui varia solo la y l'ascissa �
bloccata ad x, (ed il primo integrale non ci sar� in quanto dx =0).
Cos� l'ho fatto, credimi non lungo a penna ma seccante da trascrivere per il
formalismo.
Ottenuta la primitiva generale non ti resta che imporre la continuit� in
(0,Pi).
Nota che la tua f2 ha un primo pezzo che � (ycosy - siny) / y^2 =
d(siny/y)dx perci� l'integrale non � difficilissimo.

per il secondo, non so cosa s' intende per "Deteminare la legge delle
primitive di w in A", quindi non so farlo, ma da qualche calcolo eseguito
direi che non � una forme differenziale esatta.

Il terzo mi sembra meno complicato di come immagini tu.
L�a circuitazione � nulla per ogni curva chiusa se e solo se la forma
differenziale � esatta, quindi come sopra farai delle derivate e le
uguaglierai invece di lavorare con gli integrali, proprio ci� che volevi
evitare.
Ciao
Francesco
Received on Tue Jul 01 2003 - 13:27:27 CEST