28/03/2021 ore 18:18
Nel mio post precedente mancava la parte finale del calcolo di ∆u/u (vedi sotto).
Il giorno sabato 27 marzo 2021 alle 04:30:03 UTC+1 Franco ha scritto:
...
> Mi sembrava di aver gia` specificato che voglio rimanere
> nell'approssimazione classica.
>
Ok. E' lecito/corretto misurare la owsol = u, allontanando _lentamente_ a velocità v due orologi, O ed F, inizialmente sincronizzati, poi determinando l'istante di tempo t2 segnato da F, alla distanza OF = L, alla ricezione di un impulso luminoso emesso a t1 da O, con l'equazione u = L/(t2-t1)?
Perché se ciò fosse lecito non avremmo da inventarci altro. Perché non è lecito? Perché non sappiamo se O ed F si mantengono sincronizzati mentre si allontanano a velocità v per quanto bassa essa sia. Fino a qui siamo d'accordo?
Il tuo esperimento non è molto diverso da questo, solo che gli impulsi (luminosi o radio che siano) sono due. Il primo viene emesso da O a t = 0 e ricevuto da F a t = t1; il secondo emesso da O a t = 1/f, f = frequenza dell'oscillatore, e ricevuto da F a t = t2, quindi F misura una frequenza f' = 1/(t2-t1). Con un piccolo calcolo si trova:
u = v/(f/f'-1).
Ma se non è lecito assumere che O ed F continuino ad essere sincronizzati anche mentre F si allontana a velocità v, per quanto piccola essa sia, allora non è lecito assumere che t2-t1 non dipenda _anche_ da una variazione del ritmo dell'orologio F rispetto all'orologio O, quindi il calcolo di cui sopra non ha significato.
IMO
Vediamo se questa variazione ("errore") sul ritmo di F lo si può trascurare nel risultato finale del calcolo di u.
Essendo F in moto a velocità v, il suo ritmo varia relativisticamente del fattore gamma=(1-beta^2)^{-1/2}≈1+beta^2/2 quindi il disaccordo tra il valore "giusto" (se ci fosse sincronia tra gli orologi O ed F) e quello misurato di f/f' è dell'ordine di beta^2/2.
Dato che u = v/(f/f'-1), l'errore ∆u dovuto al disaccordo ovvero a ∆(f/f'), vale circa:
∆u ≈ v·∆(f/f')/(f/f'-1)^2 ≈ (v·beta^2/2)/(f/f'-1)^2
∆u/u ≈ (beta^2/2)/(f/f'-1).
Ora calcolo l'ordine di grandezza di f/f'-1 per beta << 1.
f/f' - 1 = sqrt[(1+beta)/(1-beta)] - 1 ≈ beta^2/(1-beta/2)
da cui segue:
∆u/u ≈ 1/2 - beta/4 ≈ 1/2
Se u = c:
∆u ≈ c/2.
--
Wakinian Tanka
Received on Sun Mar 28 2021 - 18:19:07 CEST