Il 13 Giu 2003, 14:18, Stokastik <Stokastik_at_nospam.it> ha scritto:
> Gianmarco Bramanti wrote:
> >Non direi che e' presto, se non ricordo male la teoria del
> >determinante richiede quasi tutti gli strumenti necessari.
> >
> Per i determinanti *devi* assumere che il sistema sia separabile in N
> sistemi monoparticellari.
> Il gruppo simmetrico e la teoria delle permutazioni e' il caso generale,
> quando i sistemi non sono separabili.
Quel che intendo e' che da geometria uno si impara che una
qualunque permutazione puo' essere scomposta in scambi elementari.
Sempre da geometria uno (a proposito di determinanti) si impara che
per una data permutazione, il numero di termini di scambio ha parita'
fissata. Ovvero sono pari o sono dispari indipendentemente dalla
realizzazione.
A questo punto. Se |A> e' uno stato per un sistema di n particelle
indistinguibili, rappresentato da una f.d.o. f(1,...,n)
l'indistinguibilita' si traduce nelle parole: "lo scambio di indici
non cambia lo stato e lo stato e' il medesimo se e solo se la sua
funzione d'onda e' identica eccetto, al piu', una fase".
D'altra parte date due simmetrie permutazionali la fase associata
al prodotto e' il prodotto delle fasi. (quando sia fissato lo stato).
Inoltre data una qualunque combinazione lineare di stati la fase
deve cambiare allo stesso modo per tutti, altrimenti lo stato risultante
non sarebbe il medesimo. Ovvero P(|A>+|B>)=f(|A>+|B>)
ed anche: P(|A>+|B>)=P(|A>)+P(|B>)=fa|A>+fb|B> da cui segue che
fa=fb=f.
Inoltre poiche' tutte le operazioni di scambio possono essere tradotte
una nell'altra scambiando i nomi delle particelle scambiate:
S(i,j)=T^(-1)S(l,m)T allora ogni scambio di particelle produce lo stesso
fattore di fase.
Infine, poiche' l'iterazione dello scambio conduce alla funzione d'onda
iniziale, la fase deve essere pari o dispari per tutti gli stati e per
tutte le operazioni di scambio.
Tenendo conto di quanto detto all'inizio si puo' stabilire la parita'
associata ad una qualsiasi permutazione semplicemente valutandone la
segnatura, ovvero la parita' del numero di fattori elementari di scambio.
(caratteristica che, come detto, non dipende dalla particolare
fattorizzazione)
> >Attenzione, perche' Eleonora, per fattorizzazione intende quella
> >rispetto al complesso delle coordinate (continue o discrete) di
> >stato della particella.
> >
> >f(1)g(2)h(3) dovrebbe essere f(1)g(3)h(2)=-f(1)g(2)h(3) per ogni valore
> >delle coordinate. dunque g(2)h(3)=-g(3)h(2)
> Vero, ma la funzione di partenza che prendi (f(1)g(2)h(3)) se f,g e h
> sono generiche (diverse tra loro quindi) non va bene perche' non ha la
> simmetria corretta.
E d'accordo, infatti la tesi era: "qualunque forma fattorizzata (rispetto
agli indici delle particelle) non ha la simmetria corretta".
> Per lo stato di quartetto dell'atomo di Litio che citavo, puoi dire
> *rigorosamente* che la funzione d'onda esatta la puoi esprimere come
> F(1,2,3)alpha(1)alpha(2)alpha(3), dove F(1,2,3) e' una funzione spaziale
> dei tre elettroni (9 coordinate quindi)
> F e' totalmente antisimmetrica, e non e' separabile. Ne puoi costruire
> delle approssimazioni se vuoi, utilizzando esplicitamente gli operatori
> di permutazione.
Questo invece richiede qualche precisazione. Come detto una funzione
totalmente antisimmetrica non puo' essere fattorizzata in fattori
che coinvolgono ciascuno un solo indice di particella. D'altra parte
quando si tratta il problema atomico nell'approssimazione di elettroni
indipendenti, si parla di separazione di variabili in accezione diversa,
con riferimento alla possibilita' di risolvere l'equazione d'onda per la
parte orbitale in termini di funzioni fattorizzate.
> Se invece vuoi utilizzare gli orbitali, fai l'approssimazione del campo
> medio (ad esempio) e dici che la F(1,2,3) e' scritta
> *non* come prodotto f(1)g(2)h(3), ma come prodotto *antisimmetrizzato* .
> Un determinante quindi. Det[f(1)g(2)h(3)]
> E se poni due coordinate uguali, come fai sopra (2 ->1 ad esempio)
> automaticamente il determinante e' nullo.
Noti come determinanti di Slater, e come approssimazione di
Hartree-Fock, se non ricordo male.
Problema: dire se e' possibile costruire una funzione h(x,y) antisimmetrica,
che non puo' essere posta nella forma f(x)g(y)-f(y)g(x) ed esibire un
esempio.
Altrimenti esibire una costruzione che associa alla funzione h(x,y) due
plausibili funzioni f,g il cui prodotto antisimmetrico e' h.
> ciao S.
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Received on Mon Jun 16 2003 - 15:42:47 CEST