Dimostrazione rigorosa.

From: veritasestvirtus <invirtusest_at_veritas.it>
Date: Thu, 12 Jun 2003 16:14:52 +0200

Salve,

rileggendo un post abbastanza recente, mi sono chiesto come dimostrare
rigorosamente che in elettrostatica all'interno di un conduttore il campo
elettrico � nullo e la sua superficie � a potenziale costante.

Mi chiedo, di conseguenza, come e perch� possa essere escluso a priori
l'esistenza di configurazioni di equilibrio in cui, pur essendo la
superficie del conduttore a potenziale costante:

a) Il campo � non nullo in regioni interne dove c'� densit� di carica nulla;
b) c'� una densit� volumertica di carica non nulla in qualche regione
interna e l� il campo � nullo;

Se si parte dall'asserzione: la densit� di carica volumetrica � nulla
all'interno torna tutto:
un potenziale costante su tutto il conduttore soddisfa le condizioni al
contorno, il suo laplaciano � nullo, si pu� dimostrare l'unicit� della
soluzione in base ad una nota propriet� per le funzioni armoniche ed in base
alla linearit� dell'eq. di Laplace.

Ma se non voglio partire da l�? Come posso fabbricarmi una dimostrazione
senza ricorrere al teorema di Green? E' possibile farlo?

Mi sono costruito un esercizio banale: conduttore sferico di raggio r0 con
superficie a potenziale costante. Per la simmetria sferica del problema se
si ipotizza un distribuzione di carica ro(r) con uno sviluppo in serie di
Taylor in r, si trova che anche il campo e il potenziale sono legati ai
soliti coefficienti, quindi se per un certo r ro(r) � diverso da 0 anche
E(r) lo sar� e quindi questa configurazione comporta il movimento di cariche
se la sfera � conduttrice. Quindi l'unica funzione ammessa per il conduttore
sferico � ro=0 dappertutto, da cui segue E=0 e potenziale=costante.
Pare che tutto fili liscio...
Ma per una configurazione non sferica, che posso dire? Forse il problema �
pi� matematico che fisico, cmq mi interesserebbe saperlo.

Forse ro=0 dappertutto vale per qualche principio che mi sfugge, anche se
fisicamente capisco che non pu� non essere cos�: localmente il campo avrebbe
divergenza diversa da 0 e se considero il flusso del campo attraverso una
superficie interna al conduttore esso non � 0: quindi in qualche punto della
superficie E avr� una componente normale diversa da 0....

Grazie per chi mi chiarisce questo dubbio,
Claudio
Received on Thu Jun 12 2003 - 16:14:52 CEST