Il 10 Giu 2003, 15:48, gianarco100_at_inwind.it (Gianmarco Bramanti) ha
scritto:
> Il 10 Giu 2003, 13:03, "Eleonora Norese" <noresina83_at_libero.it> ha
scritto:
> >
>
> > Pur restando nei rudimenti: il fatto che due oggetti siano identici,
> implica
> > che il quadrato della funzione d'onda debba comportarsi come invariante
> > rispetto allo scambio. Ci� � vero per funzioni simmetrice ed
> > antisimmetriche.
> > Il principio di esclusione di Pauli implica che due elettroni non
possano
> > essere negli stessi stati, dunque la funzione d'onda deve essere
> > antisimmetrica. ( perch� bisogna scanbiare anche lo spin )
> > Solo questo intendevo quando ho detto che avevo chiara la dimostrazione.
>
>
> In effetti e' vero per funzioni simmetriche ed antisimmetriche ma
> non solamente. Tuttavia:
> a,b,c siano stati indipendenti, (ovvero ortogonali)
> la somma su tutte le permutazioni s di f(s)a(s(1))b(s(2))c(s(3))
> dove f(s) e' una fase che verifica la sola
> proprieta' che f(l m)=f(l)f(m) verifica in verita' la condizione
> richiesta per la simmetria permutazionale. Allora potremmo ad
> esempio imporre che f(213)=-1 mentre f(132)=1 ne seguono
> gli altri valori di permutazione. f(312)=-1 f(321)=1 f(231)=1
> f(123)=1. Con queste condizioni lo stato descriverebbe un set
> di particelle indistinguibili, ma come chiarira' Valter, questi
> stati costruibili in linea di principio (che prendono il nome
> di stati para-statistici) vengono esclusi nella teoria dei campi
> relativistica.
Chiedo scusa. E' evidente che la costruzione che
ho proposto e' contradditoria. Infatti se indico con
p(i,j) lo scambio degli indici fra parentesi
risulta che p(i,l)=p(j,l)p(i,j)p(j,l). Allora la fase
corrispondente alla simmetria p(i,l) e' uguale alla
fase corrispondente alla simmetria p(i,j). Ma poiche'
p(j,l)=p(i,l) p(i,j) p(i,l), ne segue che la fase
di p(j,l) e la fase di p(i,j) non possono essere poste
arbitrariamente, ma devono essere identiche.
Esiste poi un teorema che torna utile in questo caso.
Questo teorema garantisce che ogni permutazione puo'
essere scomposta, in modo unico, in cicli. La dimostrazione,
noiosa da scrivere, non e' difficile da intuire.
Data una permutazione possiamo considerare un qualunque
elemento e seguirne l'immagine finche' non torna l'elemento
di partenza e cosi' per tutti i cicli distinti (che
non possono intersecarsi). Esempio:
(1234) -> (3241)
allora 1->3->4->1 e 2->2 e' una descrizione equivalente.
Ogni ciclo puo' poi esser visto come prodotto di scambi
elementari fra coppie di elementi. Il passo immediatamente
successivo sta nell'osservare che permutando i nomi
i periodi dei cicli non cambiano. Allora permutazioni
equivalenti devo avere la stessa fase.
Nel caso di tre elementi abbiamo due tipi di permutazioni
equivalenti:
Gli scambi semplici,
le ciclazioni di periodo 3.
Passo ulteriore: ogni rotazione di periodo n
puo' essere costruita componendo n-1 scambi semplici.
esempio:
123 -> 231
si ottiene applicando
p(12)
e
p(13).
Conseguenza di cio' e' che se vogliamo che la fase
ritorni quella iniziale quando applichiamo due volte
una qualsivoglia operazione di scambio semplice allora
la fase associata ad uno scambio semplice puo' essere
pari o dispari. Nel primo caso abbiamo la statistica di
Bose-Einstein, nel secondo la statistica di Fermi.
Infatti uno stato del primo tipo e' compatibile
con una somma di fattori di stato identici. Ad esempio:
A(1)A(2)+A(2)A(1). La seconda no. Il che conduce alla
statistica di Pauli.
Quindi le parastatistiche devono essere oggetti piu' complessi.
Ad esempio se la funzione d'onda cambiasse segno ogni volta
che trova un ciclo di ordine tre. Allora evidentemente
sarebbe f(y,y,y)=0. Ora mi sembra che ci voglia un matematico
per costruire una funzione con questo tipo di simmetria.
Perche' io non ci riesco.
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Received on Thu Jun 12 2003 - 16:42:11 CEST