Il 05 Giu 2003, 21:02, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
>
> > Nel caso delle f d'o nucleari questo sara' ancora vero, ed a
> > maggior ragione. Infatti i nuclei interagiscono piu' fortemente
> > degli elettroni (hanno carica piu' alta) ed hanno massa maggiore:
> > due fattori che favoriscono funzioni d'onda piu' "compatte" e ben
> > separate, ovvero con L piu' alto. Una combinazione lineare di
> > queste f d'o puo' essere perfettamente ben localizzata (un caso
> > simile si ha nei cosiddetti "stati Kepleriani" degli atomi
> > idrogenoidi), ed e' quello che accade.
Se ho capito tu dici che per costruire uno stato localizzato
occorre sommare funzioni d'onda con alto momento angolare,
aspetto che e' in un certo senso il riflesso naturale della
relazione di indeterminazione. Ora e' vero da quanto ho visto
su alcuni articoli che si possono costruire stati kepleriani con
questa caratteristica, tuttavia sono oggetti ben lontani dal
fondamentale. Credo che tutti coloro che studiando fisica due e
abbiano visto i modellini classici degli atomi si siano posti il
problema della "caduta" dell'elettrone sul nucleo. Ora quelli che
hanno cercato di realizzare in laboratori stati kepleriani avessero
dinanzi agli occhi il problema di capire come avvenga la transizione
dalla meccanica quantistica a quella classica. Ora quel che succede
e' che gradualmente la somma di funzioni d'onda localizzate
transisce, emettendo fotoni, verso sovrapposizioni con numeri
d'onda piu' bassi. I problemi che si pongono sono vari: valutare
l'evoluzione temporale della funzione d'onda tenendo conto della
emissione spontanea prevista dalla QED (e questo per quanto ho
potuto vedere e' fatto spesso in ambito quantistico classico con
una ipotesi fenomenologica sul rate delle transizioni). Vedere se
il modello classico si accorda con la previsione quantistica,
vedere se la previsione quantistica si accorda con i risultati
sperimentali.
> Ho imparato che il metodo migliore e' la spettroscopia a microonde,
> ossia le transizioni fra i diversi livelli rotazionali.
> Ora il punto e' che il "consueto" D, che non ha elementi diagonali, ha
> pero' elementi di matrice non nulli tra stati con K che differisce di 1,
> per cui provoca emissione e assorbimento.
E questo e', suppongo il corrispettivo molecolare della
situazione kepleriana a cui accennava Enrico.
> Non e' percio' una pessima approssimazione trattare la molecola come se
> fosse quasi classica, ossia formata da due palline (i nuclei) che
> ruotano rigidamente.
Questo invece non mi e' chiaro cosa significhi esattamente. Intendo
dire che, a tutti gli effetti, anche se K>>1, la situazione a nuclei
localizzati corrisponde ad una particolare fra tutte le possibili
combinazioni lineari di stati, d'altra parte quello che uno puo'
pensare e' che in particolari situazioni se uno costruisse uno stato
in cui i nuclei sono localizzati e tratta la parte elettronica
come se le coordinate dei nuclei fossero parametri, in alcune circostanze
puo' scoprire che il potenziale medio che creano gli elettroni ha un minimo
in corrispondenza di certe posizioni per i nuclei, che "stabilizza" la
localizzazione. Pero' non ho mai trovato argomentato da nessuna parte
il senso di questa circostanza. In altre parole se e' vero che quelle
a nuclei localizzati sono situazioni in un certo senso semi-stabili,
come possiamo escludere che lo siano anche configurazioni meno intuibili
classicamente. In meccanica celeste e' noto l'esempio dei punti di
Lagrange. Ora il punto e': "non e' possibile che esistano tante e tante
configurazioni di questo genere, fra cui anche quelle di
Born-Oppheneimer?" Ed il fondamentale? Cosa e' rispetto a questi
stati? L'asintoto "geologico"? Da quel che mi e' dato sapere non
e' facile rispondere a questo genere di interrogativi per via
sperimentale e nemmeno con modelli. Le situazioni pratiche sono
molto complesse.
> Gianmarco Bramanti ha scritto:
> > Grazie, che sarebbe nullo lo sapevo gia', pero' vorrei capire meglio
> > il rapporto fra l'esser zero il momento angolare quadrato, e le funzioni
> > d'onda. A me sembra che la simmetria sferica implichi la parita'.
> > Pero' vorrei saperlo esprimere in modo corretto. Oppure sapere
> > scrivere un controesempio.
Non capivo ancora bene cosa non funzionasse nella dimostrazione
che avevo pensato:
cioe' capivo il fatto che una rotazione puo' lasciare invariato lo
stato ma cambiarne la fase, tuttavia io avevo pensato che considerando
autostati del momento angolare con momento quadrato nullo,
essendo nulla la componente del momento lungo zeta e potendo
scrivere l'effetto della rotazione come e^(i Lz theta) |L=0,Lz=0>
sarebbe risultato ancora non solo il medesimo stato, ma anche
la medesima fase. Tornero' in seguito su questo punto.
> Ovviamente devi pensare a uno stato di piu' elettroni.
> Il controesempio piu' semplice e' l'azoto, il cui stato fondamentale ha
> tre elettroni p (quindi parita' -1) e L = 0.
> Spiegazione formale: con tre vettori posizione puoi fare uno
> pseudoscalare: doppio prodotto misto.
Finalmente dopo tanta fatica ho risolto il problema ed ho capito il
senso della scrittura doppio prodotto misto. Inizialmente ho proceduto
come scritto nell'e-mail precedente, ho cercato i coefficienti di
Clebsch-Gordan, ma ho cominciato a confondermi ed ho lasciato da
parte questa strada, ho provato direttamente a calcolarmi i coefficienti
3j di Wigner ed ho trovato che lo stato con L=0 comporta solamente
una combinazione di stati ortogonali |1>,|-1>,|0> mentre il coefficiente
relativo alla combinazione di tre termini: |0>|0>|0> e' nullo.
Quindi la preoccupazione che non fosse possibile costruire un tale
stato con elettroni e' stata finalmente accantonata. A questo punto
ho visto che i coefficienti di Wigner in questione, sono simmetrici
per scambio delle colonne. Quindi ho cercato di valutare se non
fosse possibile trovare lo stesso risultato in modo piu' semplice.
Allora ho considerato per prima cosa che posso scrivere le tre
coordinate cartesiane sulla sfera in termini di armoniche sferiche,
quindi ho cercato uno pseudoscalare ed ho pensato di costruirlo come
prodotto di un vettore con uno pseudo-vettore. E lo pseudo-vettore
e' costruibile come prodotto vettore di due vettori ordinari.
Siccome la rappresentazione di rango zero e' irriducibile ed
unidimensionale il tensore cosi' costruito dovrebbe essere il
medesimo che risulta dalla sostituzione delle coordinate nella
rappresentazione ricavabile dai coefficienti di Wigner. Questo
sara' di fatto lo stato fondamentale dell'azoto (ovvero, ad esser
pignoli, lo stato per la configurazione elettronica dell'azoto
nello schema ad elettroni indipendenti). Quando consideriamo
l'interazione fra gli elettroni l'hamiltoniana e' comunque
invariante per rotazioni, tuttavia non sara' piu' lecita la
separazione di variabili che ci ha condotto a considerare
separatamente la parte radiale dalla parte angolare.
L'evidenza dell'esempio mi spinge a scrivere con piu' attenzione
quello che ho dimostrato. Ho dimostrato che la funzione
che ha la proprieta' voluta e'
f(x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'') si annulla quanto z=z'=z''=0.
tuttavia non tutti i vettori (x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'') possono
essere riportati simultaneamente ad un vettore del tipo
(x,y,0,x',y',0,x'',y'',0) mediante una rotazione identica sulle
tre componenti vettoriali.
> > Per fare un esempio: una molecola di ammoniaca ha una simmetria
> > diedrale di ordine tre, pero' questa e' una simmetria a pieno titolo,
> > ovvero una quasi simmetria? E' evidente che una molecola di ammoniaca
> > che vibra non e' invariante rispetto a questa simmetria, anche se la
> > teoria dei caratteri permette di trovare i sottogruppi di simmetria
> > associati che permettono di risolvere i modi normali. Questi sono
> > successi di un approccio misto, quantistico semi-classico, mi sbaglio?
> > E' possibile condurre tutti questi ragionamenti senza uscire da un
> > contesto strettamente quantistico?
> Non di rado non capisco quello che vuoi dire, pero' l'esempio e' bello.
> L'ammoniaca ha uno _spettro d'inversione_ a microonde, che classicamente
> puoi interpretare come dovuto alla vibrazione che dici (mom. di dipolo
> perp. al piano di simmetria).
> L'interpretazione quantistica e' invece che i livelli della molecola
> formano una successione con parita' opposte: lo stato fondamentale e'
> simmetrico rispetto al piano, il successivo antisimmetrico, ecc.
> Le transizioni di dipolo avvengono tra stati di diversa parita'.
Ok, penso di aver capito, dopo avere ripercorso la strada per
il caso atomico, mi sembra che sia possibile inquadrare
analogamente il caso molecolare.
> Domanda imbarazzante (non per me ;-) ): quant'e' il mom. di dipolo
> dell'ammoniaca?
Ho trovato che il valore effettivo del momento di dipolo dell'ammoniaca
e' maggiore della previsione che avevo fatto grossolanamente pero' avevo
dimenticato di moltiplicare per tre. Quindi effettivamente sembrerebbe che
la grossolana stima che avevo fatto con uno spostamento di carica unitario
di lunghezza un quinto di raggio di idrogeno sia vicina al valore effettivo.
Che e' 4.6 e-30 Coulomb * m. Mentre avevo stimato 5.1 e-30 Coulomb*m
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Received on Sat Jun 07 2003 - 18:25:05 CEST