Re: domanda

From: tern <tern__at_ibero.it>
Date: Mon, 09 Jun 2003 21:36:01 GMT

Innanzitutto grazie Valter
 per la tua risposta, nel newsgroup

Se possibile, potresti aiutarmi con questo problema di Cauchy?
Grazie anticipatamente !

Sia

           h '(t) = f(t, u(t)) h(t) + g ' (t) where t belongs to [t0,t1]
e h(t_0) = g(t_0)


  dove g � C^1[t0,t1] e f � continua.

Io so che questo problema di Cauchy ha una e una sola soluzione.
Voglio provare che esiste c in |R tale che


|| h || C^0 <= c (| g(t0) | +||g ' (t)||C^0.
________________________________
Notazioni:
|| g ' (t)||C^0 = sup| g(t) | quando t � in [t0,t1]

|| h || C^0 =sup | h | quando t � in [t0,t1]





Per quanto concerne la domanda sul newsgroup mi � rimasto un dubbio:
Nel libro in cui ho studiato c'� scritto:

Si veda anche il REFERENCE in fondo.
PRIMA PARTE
(ii)Per ogni x appartenente a V esiste la derivata
di Frechet Fy(x; y) della funzione
y|--> F(x; y) in ogni punto y di W
[...]
FINE PRIMA PARTE


SECONDA PARTE
Osserviamo che, quando F � differenziabile secondo Frechet, gli operatori
Fy(x; y) e Fx(x; y) sono le derivate parziali della funzione F, definite
nell'esercizio 3.5.2(quello che ho riportato nel mio ultimo messaggio), ed
appartengono rispettivamente a L (Y; Z) e L (X; Z).
FINE SECONDA PARTE
______________________________

DOMANDA
Guardiamo quanto � scritto nella SECONDA PARTE,
Sono d'accordo con quanto scritto nel libro : "Osserviamo che,
quando F � differenziabile secondo Frechet, gli operatori Fy(x; y) e Fx(x;y)
sono le derivate parziali della funzione F ed appartengono rispettivamente
a L (Y; Z) e L (X; Z) ",
il fatto � che, a mio giudizio,anche Fy(x; y) di cui si parla nella PRIMA
PARTE
appartiene a L (Y; Z) .

_____________________________
PER MEGLIO capire le mie domande pu� essere utile contestualizzare la
PRIMA/SECONDA PARTE
dalla pagina del libro da cui sono state copiate:

REFERENCE
Teorema Siano X; Y; Z spazi di Bana-
ch, sia (x0; y0) in X x Y e sia V x W un intorno di tale punto. Sia poi
F : V x W |--> Z una funzione dotata delle seguenti propriet�:
(i) F � continua in (x0; y0) e F(x0; y0) = 0;
(ii) per ogni x in V esiste la derivata di Frechet Fy(x; y) della funzione
y |--> F(x; y) in ogni punto y di W, ed inoltre (x; y)|--> Fy(x; y) �
continua in (x0; y0);
(iii) esiste l'inversa Fy(x0; y0)

Allora esistono epsilon;delta > 0 tali che per ogni x in B(x0; delta)
l'equazione F(x; y) = 0
ha un'unica soluzione y in B(y0; epsilon): in particolare, esiste PSI: B(x0;
delta)|--> B(y0; epsilon) per cui risulta
x appatiene B(x0; delta); y appartiene B(y0; epsilon); F(x; y) = 0 <==> y =
PSI(x):
Inoltre PSI � continua in x0; se poi F � anche continua in V x W, allora �
continua in B(x0; delta). Infine, se F appartiene C 1 (V x W; Z) allora PSI
appartiene C 1 (B(x0; delta); Y )
e si ha
PSI ' (x) = - Fy(x,PSI(x))^(-1) Fx(x,(PSI(x))
per ogni x in B(x0; delta).
Osserviamo che, quando F � differenziabile secondo Frechet, gli operatori
Fy(x; y) e Fx(x; y) sono le derivate parziali della funzione F, definite
nell'esercizio 3.5.2(quello che ho riportato nel mio ultimo messaggio), ed
appartengono rispettivamente a L (Y; Z) e L (X; Z).
Notiamo
anche che se F � di classe C 1 l'ipotesi (iii) implica che gli operatori
Fy(x; y)
hanno inversa continua per ogni (x; y) in un opportuno intorno di (x0; y0).

Grazie di nuovo
Received on Mon Jun 09 2003 - 23:36:01 CEST