Re: centro di Spinta.

From: Paolo Russo <paolrus_at_libero.it>
Date: Mon, 19 May 2003 21:23:28 GMT

[crisram:]
>penso di aver capito, comunque se mi potresti fare un es:
>con un parallelepipedo o con un cubo.

Il centro del parallelepipedo; il centro del cubo. Per questo
dicevo che sono esempi troppo banali. Ci vuole un solido un
po' piu' asimmetrico perche' le cose diventino piu'
complicate. La formula generale per ottenere le coordinate
del baricentro e` un integrale di volume, quindi un triplo
integrale:

v=integ_x(integ_y(integ_z(1)dz)dy)dx
X=integ_x(integ_y(integ_z(x)dz)dy)dx/v
Y=integ_x(integ_y(integ_z(y)dz)dy)dx/v
Z=integ_x(integ_y(integ_z(z)dz)dy)dx/v

Tutta la complessita` del calcolo e` nascosta negli estremi
di integrazione. Non ho messo la densita` rho perche' in caso
di densita` omogenea, che e`�il nostro caso, finisce con lo
sparire dal risultato finale; nel piu' generico caso del
calcolo del baricentro di un corpo qualunque, bisognerebbe
usare:

m=integ_x(integ_y(integ_z(rho)dz)dy)dx
X=integ_x(integ_y(integ_z(rho*x)dz)dy)dx/m
Y=integ_x(integ_y(integ_z(rho*y)dz)dy)dx/m
Z=integ_x(integ_y(integ_z(rho*z)dz)dy)dx/m

Ora il problema e`: sai calcolare un integrale? Non so nulla
dei tuoi studi, ma se sei alla spinta di Archimede, sospetto
che tu sia ancora molto lontano dall'aver studiato il calcolo
differenziale.
Puoi semplificarti la vita di molto considerando le
proprieta` di simmetria del corpo. Per esempio, se ruoti un
cubo di 90 gradi attorno ad un asse che passa per il suo
centro, rimane uguale a prima e nella stessa posizione di
prima, quindi il suo baricentro deve rimanere anch'esso
dov'era prima, quindi non deve essere spostato dalla
rotazione, quindi dev'essere da qualche parte lungo l'asse di
rotazione. Fai lo stesso ragionamento ruotando attorno ad
altri assi, sempre scelti in modo tale che il cubo alla fine
ritorni esattamente come prima senza essersi spostato, e ti
accorgi che tutti gli assi che hai scelto hanno un punto in
comune (il centro): il baricentro dev'essere quello. Se un
corpo ha un piano di simmetria speculare, il baricentro deve
trovarsi da qualche parte nel piano di simmetria. Con
ragionamenti di questo tipo e` piuttosto banale trovare il
baricentro di solidi semplici come cubo, sfera,
parallelepipedo, cilindro, eccetera. Se non riesci a uscirne
fuori con le simmetrie, temo che ti tocchi passare agli
integrali.

Ciao
Paolo Russo
Received on Mon May 19 2003 - 23:23:28 CEST