Avevo scritto:
> Il resto a domani: a quest'ora di più non posso fare, anche perché
> mi sono alzato alle 6.
Eccoci qua, anche se in ritardo di un giorno.
Scusate, ma ho avuto faccende domestiche che mi hanno portato via
tempo.
Comincio con Alberto, che chiede:
> Un dubbio atroce (si fa per dire :-) ) : le onde gravitazionali
> subiscono il Doppler red-shift cosmologico?
Domanda perfettamente sensata, anche se formulata male.
Che sarebbe il "Doppler red-shift cosmologico"?
O è Doppler o è cosmologico (o è gravitazionale, v. dopo).
So benissimo che il redshift cosmologico viene molto spesso descritto
come un effetto Doppler; ma questo anche se è storicamente (Hubble)
ragionevole, in termini generali è semplicemente sbagliato, per più
ragioni.
Per piccoli z può ancora passare, perché la sorgente è vicina (su
scala cosmologica, s'intende) quindi si può con buna approssimazione
ragionare in un rif. solidale col ricevitore, e in questo rif. la
sorgente si allontana a causa dell'espansione.
Però in generale ciò non è più vero: semplicemente non esiste un rif.
(rigido, inerziale) che comprenda sorgente e ricevitore e rispetto al
quale si possa dire che il ricevitore è fermo e la sorgente si muove.
Inoltre la dipendenza del redshift
z = (Lr - Le)/Le
(che è la definizione di z) dalla distanza non è riconducibile in
alcun modo a quella dell'effetto Doppler in RR con una qualche
velocità definibile in termini di grandezze significative.
Ovviamente una velocità si tira fuori sempre, invertendo la formula
dell'effetto Doppler, ma non ha alcun significato.
Il modo più semplice di descrivere il redshift cosmologico sta nello
studiare la propagazione della luce in un universo in espansione
(ovviamente universo omogeneo, isotropo, ecc.).
La formula che risulta è semplicissima:
1 + z = a_r/a_e (1)
dove a_r, a_e sono i parametri di scala alla ricezione e
all'emissione.
Se t_r e t_e sono vicini, si può scrivere
a(t_r) = a(t_e) + (da/dt)(t_r - t_e)
a(t_r)/a(t_e) = 1 + (1/a)(da/dt)(t_r - t_e).
A piccole distanze si può porre D = c(t_r - t_e), quindi
a(t_r)/a(t_e) = 1 + H*D/c (2)
(H è per definizione (1/a)(da/dt)).
Resta da calcolare il redshift, mediante la propagazione della luce.
Non posso ripetere il calcolo, che non è difficile ma mi prenderebbe
tempo e spazio (e del resto lo trovate in Q16, pag. 210 e seguenti):
il risultato è quello che avevo scritto nella (1).
Confrontando (1) e (2) si trova
z = H*D/c
che è la legge di Hubble, valida per z<<1.
Veniamo ora a Don Fizzy, che ha scritto:
> Secondo te qualcosa che sconquassa e deforma lo spazio-tempo, se ne
> può fregare bellamente del re-shift?
Beato te che hai di queste intuizioni a volo d'uccello :-)
A parte lo "sconquassa e deforma", colorito ma troppo generico.
Un conto è quello che succede alla partenza, dove però lo "sconquasso"
non è causato dall'emissione di o.g., che caso mai sono solo una
manifestazione dello sconquasso, la cui causa è lo scontro e fusione
di due buchi neri o altro.
Quella perturbazione arriva fino a noi dopo aver percorso centinaia di
milioni o anche miliardi di anni luce, e la sua ampiezza relativa è
ridotta a 10^(-21).
Per la gran parte del tragitto è in realtà assai debole, e questo ci
aiuta a capire la risposta alla domanda di Alberto.
Sarebbe ora che chi s'interessa a queste cose (il che è lecito e anche
bello, se fatto cum grano solis) si rendesse conto dei pesanti limiti
di cui soffre l'intuizione comune.
E dicendolo così sono ottimista...
Cerchiamo ora di vedere come si può decidere se esista o no il
redshift cosmologico per le o.g.
Comincio ricordando che molto di quello che si trova sulle o.g.
discende da cacoli fatti con la seguente ipotesi:
- lo spazio-tempo è piatto salvo per una piccola perturbazione.
Matematicamente, si scrive
g_{ab} = eta_{ab} + h_{ab}
dove eta_{ab} è il tensore metrico delle RR: diag(1,-1,-1,-1), e h_{ab}
viene assunto <<1.
Sotto questa ipotesi si "linearizzano" le eq. di Einstein, trascurando
termini oltre il primo ordine in h.
Risulta che le componenti di h formano un tensore che con una trasf.
di gauge può sempre essere reso a traccia nulla e trasversale rispetto
alla direzione di propagazine dell'onda (gauge TT).
Ah dimenticavo: le componenti di h obbediscono l'eq. di d'Alembert
(eq. delle onde nel vuoto).
La condizione TT comporta che in h esistono solo due componenti
indipendenti (stati di polarizzazione, tradizionalmente indicati con +
e x).
Dato che le onde che si possono rivelare hanno sempre l. d'onda <<
delle distanze su cui l'ampiezza varia apprezzabilmente, si può fare
l'appross. dell'ottica geometrica come per le onde e.m.
Anche le o.g. sono descritte da *raggi* rettilinei, fase, ampiezza e
polarizzazione.
La fase definisce la l. d'onda, come lo spazio in cui la fase varia di
2pi.
Nello spazio-tempo piatto non c'è altro da dire. Ma se è curvo?
L'idea di base è la stessa: si assume che esista uno spazio-tempo
(curvo) di sfondo, con sopra una piccola perturbazione.
Si linearizzano le equazioni di Einstein, come nel caso di
spazio-tempo piatto, e si trovano risultati simili, ma con differenze
importanti su cui sorvolo per arrivare al punto.
Ancora è possibile fare l'appross. dell'ottica geometrica (che
naturalmente ora non è "ottica" :-) ) e la proprietà più importante
per noi è che i raggi sono *geodetiche* dello spazio-tempo, di tipo
luce (vettore tangente a quadrato nullo).
E' questo che permette di trasferire alle o.g. tutte le proprietà
conosciute per la luce; in particolare la lunghezza d'onda non è
costante lungo un raggio.
I casi semplici e interessanti a cui si applica questo fatto sono due:
1) Spazio-tempo statico, magari a simmetria sferica (Schwarzschild).
In questo caso si ha una variazione di L (l. d'onda) con r. E' quello
detto "redshift gravitazionale".
Solo nel caso limite di debole curvatura, in cui la componente g_tt
del tensore metrico si può scrivere
g_tt = 1 + 2V(r)
con V potenziale gravitazionale, vale ciò che ha scritto Tommaso, a
parte il rallentamento degli orologi che - come dovrebbe essere noto a
tutti voi - io giudico un pessimo modo di descrivere il fenomeno.
2) Spazio omogeneo isotropo, in espansione (cosiddetto di FLRW).
In questo caso la variazione di L è dovuta all'espansione, secondo la
legge (1) che ho scritto sopra.
Questo è il *redshift cosmologico*, che non ha niente a che vedere con
quello gravitazionale. Tra l'altro qui, essendo lo spazio isotropo,
non c'è nessun campo gravitazionale (almeno nelle usuali coordinate
comoventi).
--
Elio Fabri
Received on Sat May 15 2021 - 11:03:47 CEST