Re: Equazione di evoluzione.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 25 Mar 2003 21:04:48 +0100

rez ha scritto:
> Premetto che la derivata covariante e` la stessa cosa di gradiente.
Gia' qui non sono d'accordo...

> Passo alla definizione:
>
> (1) P=P(x^i); x^i=x^i(y^j); ..coordinate curvilinee;
Se capisco bene, le y sono coordinate cartesiane? Dove? Direi che stai
seguendo la strada che ho attribuito a Finzi-Pastori, o sbaglio?

> (2) OP,i=e_i; ..base naturale;
Notazione poco chiara: che significa OP,i ?
Sembrerebbe derivata del vettore OP rispetto alla coordinata x^i, cosa
che ha senso se e solo se siamo immersi in uno spazio cartesiano, dove
si sa che cosa intendere per OP. Altrimenti?

> (3) e_i,j=H_ji^k e_k; ..coefficienti connessione affine;
Peggio ancora: che cos'e' e_i,j ? Come sopra, suppongo.

> ...
> essendo: (),i=_at_()/_at_y^i=derivata parziale; ()/i=derivata covariante.
A quanto pare e' diverso: tu stai semplicemente usando coordinate
curvilinee in uno spazio euclideo!

> Bada pero` che nel thread che ho aperto io ieri, VM ne da` una
> definizione completamente diversa.
Eh si'...

> Dunque non so dirti al 100%
> se questa e` accettata da tutti gli autori.
Problema: quali sono, a parte l'immancabile Cattaneo, gli autori che
accettano la tua?
E che comunque spero si spieghino meglio di te...

Valter Moretti ha scritto:
> ...
> Come saprai nei lavori di Einstein successivi alla relativita' generale
> si parla di torsione cioe' di connessione non simmetrica. Einstein
> credeva di potere introdurre per questa via il campo elettromagnetico
> rappresentato in qualche modo dalla parte antisimmetrica dei coefficienti di
> connessione, mentre la parte simmetrica avrebbe dovuto descrivere come
> al solito la gravita'. E' noto che non riusci' mai nel suo intento.
Devi sapere che questo tentativo, che e' esposto in appendice al
"Significato della relativita'", lo studiai attentamente quando ero
studente, intorno al 1950...
Mi pareva di ricordare, e ho verificato, che in realta' Einstein
introducesse anche un tensore "metrico" non simmetrico, per cui la sua
teoria non era solo una teoria con torsione, ma una cosa piu'
complicata.
Mi sembra anche di ricordare (sebbene lui non lo dica esplicitamente)
che la parte antisimmetrica di g_ik dovesse avere il ruolo di tensore
e.m.

Pangloss ha scritto:
> Pertanto mi interesserebbe molto confrontare le mie elucubrazioni con la
> presentazione assiomatica della derivata covariante da te citata.
> Potresti brevemente elencare il suddetto set di assiomi (anche senza
> discuterli) o almeno indicarmi un testo nel quale si proceda secondo
> questa logica?

Si puo' fare cosi'. Sia M la varieta', V l'insieme dei campi vettoriali
su M.
Chiamo derivata covariante un'applicazione VxV -> V: (u,v) |-> D(u,v)
tale che:
1) D e' lineare in u e in v
2) e' una derivazione su v:
    se f e' una funzione scalare M -> R, allora D(u,fv) = f D(u,v) +
(_at__u f) v
    (dove _at__u f indica la derivata di f rispetto a u)
3) e' simmetrica: D(u,v) - D(v,u) = [u,v].

Da questi assiomi si dimostra che D(fu,v) = f D(u,v) ossia e'
semplicemente lineare in u (non e' una derivazione). Percio' ha senso
D(u,v) anche se v e' un campo ma u e' soltanto un elemento dello spazio
tangente alla varieta' in un punto.

I coeff. di connessione G^i_{jk} sono definiti da:
D(e_k,e_j) = G^i_{jk} e_i
essendo e_i una base nel fibrato tangente.
L'assioma 3 implica che se e_i e' una base olonoma, ossia se
[e_i,e_j]=0, allora i coeff. di connessione sono simmetrici negli indici
inferiori.
Si dimostra anche facilmente che la differenza tra due diverse derivate
covarianti e' un tensore di rango (1,2).

Nota: ho data per nota la definizione di vettore tangente e di spazio
tangente: ti serve anche questa?

Non giuro sull'assoluto rigore delle definizioni e degli assiomi, ma per
questo c'e' Valter ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Tue Mar 25 2003 - 21:04:48 CET