Re: QFT e funzioni d'onda

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 01 Mar 2003 21:16:53 +0100

Artistico ha scritto:
> Se applico il metodo della quantizzazione canonica al campo di Schroedinger
> trovo che la funzione d'onda Phy(x)=<x|0,0,...,1,0,..>, con |0,0,...,1,0,..>
> vettore a una sola particella in un generico stato k, puo' essere riscritto
> come Phi(x)=<0|P(x)A(k,daga)|0>, con P(x) operatore di campo.
> Lo Schweber a pagina 171 (non so dirvi quale edizione) afferma che la stessa
> espressione per il campo di Klein-Gordon non abbia il significato della
> funzione d'onda ma un'altro, cioe' la probabilita' di avere una e una sola
> particella al tempo X0 (in realta' fa un discorso generalizzato l'espressione
> per n particelle, ma il succo e' lo stesso).
> Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio il perche' di questa differenza e dirmi
> qual e' la giusta espressione per una funzione d'onda per una particella
> descritta dal campo di Klein-Gordon?
In realta' il problema non riguarda la teoria dei campi: c'e' gia' per
l'interpretazione delle soluzioni dell'eq. di Klein-Gordon (e in
generale delle eq. d'onda relativistiche).
Sono andato a controllare lo Schweber, e ho visto che infatti rimanda al
primo capitolo, dove la questione e' discussa nel paragrafo intitolato
"operatore di posizione" (se ricordo bene il titolo).

Il discorso di Schweber non e' chiarissimo, ma il nocciolo della
questione e' questo.
Le \phi(x), definite come hai detto, formano uno spazio di Hilbert con
prodotto scalare dato dalla solita forma

(i/2) \int d^3x (\phi_1^*(x) \dot \phi_2(x) - \dot \phi_1^*(x)
\phi_2(x)).

Ora con questa definizione di prodotto scalare, l'operatore x *non e'
hermitiano*, come puoi verificare subito. E' questo il motivo per cui
\phi(x) non puo' essere interpretata come funzione d'onda.
Devi invece costruire una \psi(x) con prodotto scalare

\int d^3x \psi_1^*(x) \psi_2(x),

e lo si fa con la trasformazione

\psi(x) = \int d^3x K(x-x') \phi(x)

dove K(x) e' la trasf. di Fourier di \sqrt(p^2+m^2).
Questa \psi(x) e la f. d'onda.

C'e' un inconveniente, inevitabile pero': mentre \phi e' uno scalare di
Lorentz, \psi non lo e', e ha una legge di trasf. molto piu' complicata.
Peggio: la trasf. *non e' locale*.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
Received on Sat Mar 01 2003 - 21:16:53 CET