Re: degenerazione

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 03 Jan 2003 20:51:28 +0100

|Epoch| ha scritto:
> Dunque, mi era stato dato un esercizio in cui compariva un' H con
> perturbazione. Mi veniva chiesto se tale perturbazione conservava la
> degenerazione o meno di Lz e di L.
>
> Da quel che ricordo la perturbazione era qualcosa come :
>
> k B Lz (x^2+y^2)/lambda^2
>
> L'esercizio riguardava un elettrone che oscillava e c'era un campo
> magnetico , quindi gli autovalori erano quelli dell'oscillatore
> armonico.
Suona piuttosto improbabile...
Non sara' stato per caso qualcosa come k B Lz + (x^2 + y^2)/lambda^2
da aggiungere all'hamiltoniana imperturbata?
Questa infatti e' l'hamiltoniana di un elettrone in campo magn. diretto
secondo z.

> Per L , per l'appunto se metto una perturbazione , non si conserva
> piu' la degenerazione(perche' e' conservata solo nel potenziale
> coulombiano, questo lo prendo piu' come dato di fatto anche se mi
> piacerebbe avere qualcosa di concreto che mi faccia vedere il
> perche').
Ma L non e' piu' neppure una costante del moto, quindi non lo puoi usare
per classificare i livelli.

> Per Lz invece che operazione devo fare per capire da quel
> tipo di perturbazione se viene conservata o meno la degenerazione?
> Intuitivamente forse dico che la degenerazione cade in quanto ho
> quell' (x^2+y^2)...pero' e' qualcosa cosi' di qualitativo.
Primo: Lz e' ancora costante del moto, per la perturbazione e'
invariante per rotazioni attorno a z.
Pero' non e' invariante per rotazioni attorno ad altri assi, e questa,
come ti avevo gia' detto, e' condizione necessaria e sufficiente per la
degenerazione.


> Generalizzando, se al posto di Lz mi veniva chiesto per un'operatore A
> ,con la stessa richiesta di controllare se si mantiene la
> degenerazione...come mi dovevo comportare? Per Lz tiro in ballo
> l'invarianza per rotazione , genericamente per un operatore A non lo
> potro' fare.
E' vero, ma in realta' l'argomento viaggia allo stesso modo.
Avrai degenerazione su A se esiste un altro operatore B che non commuta
con A e che e' costante del moto. Infatti se B non commuta con A avra'
elementi dimatrice non nulli tra stati con diversi autovalori di A;
d'altra parte se |a> e' autovettore simultaneo di A e di H, allora B|a>
e' ancora autovettore di H con lo stesso autovalore, mentre non e'
autovettorei di A, o per lo meno non con lo stesso autovalore, proprio
per quello che ho detto sugli elementi di matrice.
Nel caso di Lz, tanto Lx quanto Ly possono fare la parte di B.

Sono stato un po' sintetico, e non so se sono stato suff. chiaro. Tra
l'altro tutto questo argomento si tratta meglio con tecniche di
rappresentazioni di gruppi, che fanno capire bene quello che ci sta
sotto...
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------
Received on Fri Jan 03 2003 - 20:51:28 CET