concetto di simmetria? proviamoci... (2)

From: anbar <anbar_sobol_at_hotmail.com>
Date: 11 Dec 2002 03:50:38 -0800

Non ci sono state proteste, quindi vado avanti.
Eravamo rimasti al calcolo del campo elettrico usando il teorema di
Gauss ed avevo detto che l'argomento di simmetria agisce in questo
caso su due livelli, ovvero sia le equazioni del moto che le
condizioni iniziali.

Per capire meglio cosa intendo, torniamo al moto newtoniano in una
dimensione.
Abbiamo, riassumendo, il nostro metro a nastro ed il nostro orologio
(un "sistema di riferimento") i quali ci consentono di descrivere ogni
moto del carrello mediante la sua legge oraria S(t). Invece del moto
libero del post precedente consideriamo un moto (conservativo)
generico soggetto a forze: supponiamo che le equazioni del moto siano

(*)[d^2/dt^2]S(t)=F(S(t))

Come lo studente dovrebbe ben sapere, l'equazione (*) non determina,
da sola, una soluzione, perche' sono necessarie anche le condizioni
iniziali in un istante dato, diciamo t=0: S(0) e [d/dt]S(0).
Armati della (*) e delle condizioni iniziali possiamo trovare la
nostra soluzione.

Quello che voglio mostrare e` che se ho a disposizione una simmetria
posso, in casi particolari, trovare delle soluzioni alle equazioni del
moto *senza risolverle esplicitamente*. Supponiamo per esempio che la
trasformazione S'=-S (rovescio il metro a nastro) sia una simmetria
per le equazioni del moto. Questo e` vero se F(-S(t))=-F(S(t)) (un
caso specifico e` l'oscillatore armonico: F(S(t))=-kS(t)), per cui la
(*) diventa

[d^2/dt^2]S'(t)=F(S'(t))

e come nel post precedente S'(t)=-S(t) e` una soluzione se e solo se
lo e` anche S(t). Supponiamo che le condizioni iniziali per il moto a
cui siamo interessati siano S(0)=0 e [d/dt]S(0)=0 e dunque anche
S'(0)=0 e [d/dt]S'(0)=0. Vediamo quindi che le condizioni iniziali
sono identiche nei due riferimenti e, essendo anche identiche le
equazioni del moto, devono essere identiche anche le soluzioni ovvero
S'(t)=S(t); siccome pero` S'(t)=-S(t) per definizione, troviamo che
S'(t)=S(t)=0, cioe` il punto materiale se ne sta fermo nell'origine.

Abbiamo trovato la soluzione al nostro problema senza nemmeno
conoscere nel dettaglio le equazioni del moto! (la forma della
funzione F(S) non e` stata specificata, se non per il fatto che
F(S)=-F(-S)).

Siamo ora pronti per affrontare il teorema di Gauss: l'unica equazione
che ci serve e`

(**) div[E(x)]=rho(x)

La (**) e` invariante per traslazioni

x'=x+X, E'(x')=E(x+X), rho'(x')=rho(x+X)

e per rotationi

x'=R(x), E'(x')=R{E[R(x)]}, rho'(x')=rho[R(x)]

(E ed x sono qui vettori) nel senso che con queste definizioni vale

div'[E'(x')]=rho'(x')

ovvero traslazioni e rotazioni sono simmetrie dell'equazione (**).

Il ruolo delle condizioni iniziali e` qui svolto dalla densita` di
carica (avrei probabilmente fatto meglio ad usare una terminologia
diversa, ma ormai...) nel senso che, per una data rho(x) esiste una
*unica* soluzione alla (**) (unica perche' si assume che valga anche
rot[E(x)]=0).

L'analogia con l'esempio del punto materiale si completa se si hanno
delle distribuzioni di carica simmetriche, ovvero se rho'(x)=rho(x)
(come nel nostro esempio avevamo condizioni iniziali identiche). E' il
caso ad esempio di una distribuzione sferica, che resta invariata per
rotazioni attorno ad un qualsiasi asse passante per il centro.
Il campo generato e` radiale e di modulo dipendente solo dalla
distanza dal centro perche' i due vettori E(x) ed E'(x) *devono essere
uguali*, visto che le loro sorgenti sono uguali.

Si sara` capito qualcosa? speriamo...
Received on Wed Dec 11 2002 - 12:50:38 CET