Re: Concetto di simmetria

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 09 Dec 2002 20:57:38 +0100

Matteo Tirelli ha scritto;
> Il campo elettrico suppongo che sia radiale. Penso che, anche se troppo
> semplicisticamente parlando, si possa equiparare l'esempio ad una sfera
> uniformemente carica nella quale la carica viene considerata al centro di
> essa.
Beh no: un disco non e' una sfera. Come fai a pensare che producano lo
stesso campo?
Ma dato che l'esempio che ti avevo proposto e' forse meno semplice di
quello che citi tu, parliamo di quello.

> ...
> Parlando di lastra infinitamente estesa carica positivamente la prof m'ha
> chiesto per quale motivo il campo elettrostatico uscente da essa si potesse
> considerare simmetrico. Io ho argomentato la mia risposta sostenendo che
> preso un punto P ad una distanza x dalla lastra (che consideriamo in un
> piano cartesiano coincidente con l'asse delle ordinate) ed un punto Pprimo a
> distanza -x (entrambi sulla stessa ordinata) il vettore campo elettrostatico
> nei due punti e' un vettore avente la stessa direzione, lo stesso modulo ma
> verso opposto, pertanto i due vettori e conseguentemente il campo
> elettrostatico in entrambe le direzioni devono essere simmetrici rispetto
> alla lastra.
Ma scusa, se dici cosi', mi sembra che dici che e' simmetrico in quanto
e' simmetrico :)
Guarda la figura.

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       P | P'
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Diamo per il momento per noto che il campo in P e in P' e' normale al
piano (poi vediamo se si potrebbe dimostrare). Quello che va dimostrato
e' che il verso e' opposto e l'intensita' e' la stessa nei due punti.

La tecnica da usare in questi casi e' sempre la stessa:
trovare una trasformazione che soddisfi questi due requisiti:
  1) lasci invariata la distribuzione di cariche
  2) mandi P in P'.
In questo caso se ne possono pensare due, che vanno bene entrambe:
a) Una rotazione di 180 gradi attorno all'asse del segmento PP' (in
realta', visto che siamo nello spazio, di "assi" ce ne sono infinit, ma
va bene quello che tu hai preso come asse y.
b) Una riflessione rispetto al piano delle cariche.
Per ragioni che sarebbe un po' lungo spiegare, ritengo preferibile la
a).

Ora si ragiona cosi': la distribuzione di cariche e' rimasta la stessa,
quindi anche il campo in ogni punto resta lo stesso.
Ma d'altra parte, se ho ruotato le cariche, anche il campo ruota allo
stesso modo.
Dato che la rotazione manda P in P', il campo in P' si ottiene ruotando
il campo in P, ed e' chiaro che la rotazione lascia invariata
l'intensita' del campo e ne rovescia il verso, c,v,d,

Ora ti do una traccia per dimostrare, sempre con argomenti di simmetria,
che il campo in ogni punto e' normale al piano delle cariche.
Considera una rotazione di angolo qualunque attorno alla retta PP'.
Anche cosi' la distr. di cariche resta immutata, e inoltre il punto P
resta dov'e'.
Prova a supporre che E non sia perpend. al piano: che succederebbe dopo
la rotazione?

C'e' un'altra cosa interessante: si possono dire un sacco di cose sul
campo nella tua situazione, usando solo simmetrie:
- che e' opposto dai due lati del piano
- che e' sempre normale al piano
- perfino che e' lo stesso in punti alla stessa x.
Solo una cosa non puoi dire: che e' lo stesso anche in punti con diversa
x, ossia che e' uniforme.
Questo e' molto interessante: se per assurdo la legge di Coulomb avesse
un'altra forma, magari con 1/r^3 invece di 1/r^2, tutto il resto sarebbe
ancora vero, ma il campo cambierebbe con la distanza dal piano.

P.S. Vedo che frequenti il L. Classico a Rapallo. Ci sono stato, quasi
10 anni fa, in occasione di un corso di aggiornamento per insegnanti
sulla relativita'.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Dec 09 2002 - 20:57:38 CET