Re: Forse OT su un libro

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 25 Sep 2002 20:03:03 +0200

Lois ha scritto:
> Posta cosi' la questione appare molto controversa.
> Credo che le basi matematiche della fisica sian quelle che ti permettono di
> comprendere appieno il significato delle varie proprieta' di un campo, ad
> esempio, e anche di risolvere gli esercizi.
> Il suo punto di vista e' differente?
Ti diro' che non ho capito bene il tuo...
Soprattutto non vedo che cosa c'entrino gli esercizi.
Faro' piu' avanti un esempio, col quale forse ci capiremo meglio.

> Mi spiace dirle che io rientro nel caso di studenti che si inceppano in
> dimostrazioni "puramente matematiche", o, per lo meno, cosi' mi sembra.
> Ad esempio, la dimostrazione della quarta equazione di Maxwell mi sta
> creando non pochi problemi; arrivo ad un certo punto e non so andare avanti,
> o meglio, so proseguire ma impiego un tempo sproporzionatamente lungo, tempo
> del quale certamente non disporro' all'esame.
Ecco, vediamo proprio questo esempio.
Assumo che la "quarta equazione" sia quella con la corrente di
spostamento, giusto?
Intanto io non parlerei di "dimostrazione": si tratta di una scoperta,
alla quale si puo' arrivare, ma non dimostrare.
Vediamo se ho capito a che cosa pensi parlando di dimostrazione. Se poi
non e' questo, poco male: come esempio funziona lo stesso.

Abbiamo la forma differenziale della legge di Biot e Savart, valida per
correnti stazionarie:
rot H = j.
Si vede subito che il primo membro ha div identicamente nulla, percio'
lo stesso deve essere per il secondo membro, e finche' siamo nel caso
stazionario tutto bene.
Ma in generale div j non e' nulla:
div j = -drho/dt (eq. di continuita': scrivo d dove ci vorrebbe la
derivata parziale).
Dunque bisogna mettere al posto di j qualcosa che abbia sempre div
nulla...
Osserviamo che rho = div D, e quindi
drho/dt = d(div D)/dt = div(dD/dt).
Osservazione matematica: posso scambiare div e d/dt perche' div riguarda
le derivate spaziali; lo si puo' anche vedere, in modo piu' noioso,
scrivendo esplicitamente l'espressione di div D mediante le componenti.
Allora
div j = -div(dD/dt), cioe' div(j + dD/dt) = 0 (passaggio lecito perche'
div e' un operatore differenziale _lineare_: div(u+v) = div u + div v.
Ecco trovata la "cosa" che ha sempre div nulla: j + dD/dt. Dunque l'eq.
giusta sara'
rot H = j + dD/dt. (*)

Ma attenzione: questo non e' certo, perche' a secondo membro potrei
ancora aggiungere qualsiasi vettore che abbia sempre div nulla. Ecco
perche' non e' una dimostrazione.
A questo punto si puo' cercare di capire il significato fisico della (*)
esprimendola in forma integrale, e si capisce meglio che dovrebbe
proprio essere l'eq. cercata.

Ora, se ho capito bene che e' questo il ragionamento che ti da'
difficolta', io sono convinto che la difficolta' che trovi *non sta
nella matematica*: sta invece nel significato del ragionamento che devi
fare, ossia *nella fisica*.
E' vero che quel ragionamento e' espresso con strumenti matematici, e
vedi bene che non potresti *assolutamente* esprimerlo senza; ma il
*contenuto* del ragionamento e' fisico.
Io ho un'espressione favorita, a questo proposito: dico sempre che per
il fisico la matematica e' uno "strumento di pensiero". Cioe' non e' uno
strumento banale, di quelli che servono per arrivare a certi risultati
pratici. Certo, a volte serve solo di calcolare un integrale. Ma la
matematica a un fisico serve per *pensare*, per dare forma precisa alle
sue idee.

Conosci "La fisica di Feynman"? Prova a leggere l'inizio del cap. 18 del
secondo volume.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Wed Sep 25 2002 - 20:03:03 CEST