Elio Fabri wrote:
> M'interessa di certo.
> Infattisui miei appunti mi sono limitato a mostrare che se R=0 il
> trasporto parallelo su un parallelogrammo "infinitesimo" non cambia un
> vettore, dichiarando poi "plausibile" che lo stesso valga per una curva
> chiusa qualsiasi.
> Da qui mi pare che segua che la varieta' e' piatta.
> Ma una precisa dim. del primo passo non la conosco.
> -------------------
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "E. Fermi"
> Universita' di Pisa
> -------------------
>
Ciao, la dimostrazione che ho dato io
ha la seguente struttura (diversa da quella che dici tu):
1) si mostra che per ogni fissato punto p della varieta`
esiste un campo vettoriale controvariante la cui derivata
covariante e` nulla e che ha un valore fissato in p.
Per provarlo si scrive che la derivata covariante deve essere nulla
in un sistema di coordinate attorno a p
cio` costituisce un sistema di equazioni differenziali del prim'ordine.
Si vede allora che l'annullarsi
del tensore di Riemann in tali coordinate implica che
le cosiddette "condizioni di Frobenius" sull'equazione
differenziale sono soddisfatte. Tali condizioni
assicurano l'esistenza e l'unicita` locale.
Quindi si prendono n campi del tipo detto che in p
costituiscono una n-pla di vettori ortonormali (una base
dello spaziotengente). Gli n campi vettoriali, per il fatto di
avere derivata covariante nulla conservano l'ortonormalita`
nell'intorno dove sono definiti e generano basi ortonormali
in ogni punto dell'intorno.
2) Si prova che le basi ortonromali dette sono "olonome",
cioe` sono ottenute da un sistema di coordinate nello
stesso intorno. In pratica si scrive un sistema
di equazioni differenziali per le nuove funzioni
coordinate imponendo che i vettori tangenti siano le basi
dette (in realta` per motivi tecnici si procede usando
le basi duali, ma non cambia la sostanza). Il fatto che
il tensore di Riemann sia nullo assicura nuovamente che
le condizioni di Frobenius sono soddisfatte anche per questo
sistema, per cui si trovano le coordinate dette.
In definitiva si prova che per per ogni punto della varieta`
c`e` un intorno in cui sono definite coordinate i cui
vettori tangenti costituiscono basi ortonormali in ogni punto
dell'intorno.
Oggi aggiungero` alle dispense anche una parte sul trasporto di
Fermi.
Mi riprometto in futuro di mettere la teoria dell'exponential map,
con tutto le cose legate agli intorni geodeticamente convessi
e la "world function" di Synge...
La teoria della causalita` (insiemi causali,globale iperbolicita`
ecc...) la mettero` su altre dispense.... sempre
che il corso si attivi...
Ciao, valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Wed Sep 11 2002 - 09:06:14 CEST