Re: Fisica matematica della relatività (ouch!)

From: rez <rez_at_rez.localhost>
Date: Sat, 07 Sep 2002 03:12:07 GMT

On 6 Sep 2002 18:13:03 GMT, Pangloss wrote:

>Suppongo che per simbolo o delta di Kronecker generalizzato si intenda
>quel coso con n indici _per definizione_ uguale a 0 se gli indici non
>sono tutti distinti, uguale a +1 se la permutazione degli indici e'
>pari, uguale a -1 se e' dispari.

Beh.. per chiarezza aggiungerei che vale zero anche se gli indici in
alto, pur essendo tutti distinti, non sono una permutazione di
quelli in basso (tutti distinti anch'essi).
Esempio: n=3; k=2; D^12_13=0.

>Visto in questi termini, si tratta ovviamente solo di un simbolo,
>di una notazione formale piu' o meno utile.

Ha anche qualche applicazione a prescindere dai tensori, vedi dopo.

>Ci si puo' chiedere se, in uno spazio vettoriale di dimensione n, il
>set di n^n valori delta ottenuti considerando le permutazioni con
>ripetizione degli indici costituisca la rappresentazione di un tensore
>(di rango n).

Gia`, proprio cio` che chiedevo di dimostrare. [*]
D'altra parte il mio interesse era dovuto unicamente alla faccenda
che mi era stato consigliato di pensare - anzi: spiegare! - i
tensori, senza ricorrere a tabelle o componenti.

La dimostrazione analitica e` fulminea: basta considerare che esso
si ottiene per antisimmetrizzazione della k-esima potenza tensoriale
del *tensore* (delta)^i_k, che e` il simbolo di Kronecker non
generalizzato. Fine:-)

Vorrei proprio sapere come diamine si puo` fare altrimenti, voglio
dire: non analiticamente. Personalmente sono un po' scettico.. :-(
Inoltre mi sembra di capire che senza considerare le componenti un
criterio di tensorialita` non e` facile tirarlo fuori.
Dico: guarda che piu` semplice di quel A^ik che ho gia` dato, non
ce n'e`. Per comodita` lo riscrivo: (i,k = 1,2,3)

 0 1 0
-1 0 0
 0 0 0

E` o non e` un tensore doppio contravariante?

>Molti libri
>parlano di tensore totalmente antisimmetrico o di tensore delle
>permutazioni.

Ecco, infatti e` antisimmetrico. Ma e` conosciutissimo perche' serve
anche per calcolare i determananti. In algebra tensoriale poi, per
determinare la parte antisimmetrica di un tensore.

>Avrai capito che questo approccio analitico non mi soddisfa, perche'
>non si riesce a cogliere il significato del tensore.

Si`, d'accordo.. pero` questo intimo significato non c'e` verso di
farvelo tirar fuori:-(

>E' come leggere
>le note di uno spartito musicale senza essere in grado di cogliere la
>melodia.

Bada che Beethoven era sordo! ;-)

>E' come utilizzare il tensore di Riemann in RG, vedendo in
>esso solo un mostriciattolo a 256 componenti.
>IMHO la via che conduce all'illuminazione e' un'altra: *prima* bisogna
>intuire e definire il tensore, poi analizzare le rappresentazioni.

Mi metto in concentrata e dolce attesa del raggio si sole.. :-)

>Prima bisogna sentire in testa la musica, poi scrivere lo spartito.

Ah beh in testa.. allora ritiro l'accenno alla sordita`
dell'Illustre!

---------------
[*] Cmq il simbolo di K. puo` anche avere k < n, come l'esempio
fatto sopra. Se invece k > n allora son tutti zeri, ovviamente.

-- 
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Received on Sat Sep 07 2002 - 05:12:07 CEST

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