rez ha scritto:
>D'altra parte il mio interesse era dovuto unicamente alla faccenda
>che mi era stato consigliato di pensare - anzi: spiegare! - i
>tensori, senza ricorrere a tabelle o componenti.
<cut>
>Vorrei proprio sapere come diamine si puo` fare altrimenti, voglio
>dire: non analiticamente. Personalmente sono un po' scettico.. :-(
>Inoltre mi sembra di capire che senza considerare le componenti un
>criterio di tensorialita` non e` facile tirarlo fuori.
<cut>
>Si`, d'accordo.. pero` questo intimo significato non c'e` verso di
>farvelo tirar fuori:-(
Provo a risponderti...
Spero di non fraintendere il tema in discussione e di non sentirmi dire
che ho riscoperto l'acqua calda! Quanto segue non e' altro che una
rilettura "tra le righe" dei miei libri, arrangiata secondo uno schema
originale conforme ai miei gusti personali.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sopra un corpo A.
Le applicazioni multilineari del tipo: VxVx..xV -> A
sono per definizione tensori covarianti che chiamo funzioni lineari di
r vettori: a = F(v1,v2...vr)
Qui ci interessano le funzioni totalmente antisimmetriche, cioe' quelle
che cambiano di segno scambiando tra loro due vettori qualsiasi.
E' facile vedere che per r=n una funzione siffatta e' completamente
individuata dallo scalare s che essa associa ad una data base vettoriale
u1...un e che le componenti covarianti che la rappresentano sono:
s * e_k1...kn (s * simbolo delle permutazioni o di Kronecher)
Il bello viene quando lo spazio vettoriale e' metrico.
E' facile provare che se ad una particolare base ortonormale la funzione
associa lo scalare s, ad ogni altra base ortonormale e' ancora associato
+s oppure -s (ove il segno + vale per le basi congrue, cioe' ottenute da
quella prefissata mediante una rotazione propria).
Dunque in uno spazio vettoriale metrico di dimensione n esiste una sola
funzione antisimmetrica di n vettori normalizzata, che ad ogni base
vettoriale ortonormale congrua associa lo scalare 1 (o meglio esistono
due funzioni siffatte, contrarie di segno).
Io chiamo quest'applicazione privilegiata, automaticamente definita dal
tensore metrico, con il nome di *tensore di volume* (o di estensione):
essa associa ad ogni n-pla di vettori uno scalare suscettibile di essere
interpretato geometricamente come il volume dell'iper-parallelepipedo
avente tali vettori per spigoli. Le basi vettoriali ortonormali fungono
da unita' di misura per il volume.
Ho cosi' definito algebricamente un tensore di basilare importanza,
senza necessita' di parlare di componenti.
La sua rappresentazione in base ortonormale congrua e' espressa dal
simbolo delle permutazioni (alias delta di Kronecker) e_k1..kn.
mentre in base qualsiasi la sua rappresentazione covariante risulta
dopo facili calcoli:
+/- sqrt(|g|) e_k1..kn
ove g denota il determinante del tensore metrico.
E' appena il caso di osservare che in base non ortonormale il tensore
puo' essere rappresentato in forma covariante, controvariante o mista,
grazie all'isomorfismo metrico.
Ho dovuto tagliare parecchio sui dettagli e non posso dilungarmi sui
vantaggi offerti da tale interpretazione. Ad es. si possono ottenere
in modo particolarmente rapido ed intuitivo formule assai generali
per volumi di iper-parallelepipedi, formule di integrazione in
geometria differenziale ecc.
Ciao, spero di non averti annoiato, ora mi ascolto un po' di Beethoven..
--
Elio Proietti
Debian GNU/Linux
Received on Sat Sep 07 2002 - 18:25:01 CEST