Re: giro della morte

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 11 Aug 2002 20:05:47 +0200

Scusate se intervengo per dire che nessuna delle risposte che ho letto
mi soddisfa.
A parte affermazioni sbagliate, del tipo "arriverebbe fermo e caderbbe
giu' in verticale", anche quelli che parlano di "velocita' necessaria
per generare la forza (o l'accelerazione) centrifuga" (che per qualcuno
invece e' centripeta, come se fossero intercambiabili...) non li
passerei a un esame ;-)

Ecco quello che direi io.
1. Durante il moto, il corpo e' soggetto a *due forze esterne*:
a) la forza di gravita' mg, verticale verso il basso
b) la reazione vincolare R della rotaia, che suppongo priva di attrito;
R e' quindi normale alla rotaia e puo' essere solo diretta verso il
centro (vincolo unilatero).
2. Sara' sempre ma = mg + R (vettori). (*)
3. In un moto su traiettoria nota, l'accelerazione ha due componenti:
quella tangenziale che vale dv/dt, e quella normale che vale v^2/r ed e'
diretta verso l'interno della curva.
4. In particolare, supponendo che il corpo arrivi alla sommita', in quel
punto l'accelerazione tangenziale sara' nulla, perche' v ha un minimo;
l'acc. normale sara' diretta verso il basso.
5. Percio' la (*) diventa mv^2/r = mg + R, dove ora tutti i vettori
puntano verso il basso.
6. Dovra' dunque essere mv^2/r >= mg (scalari). (**)
7. Se il corpo e' partito da un'altezza h, la cons. dell'energia nel
punto considerato mi dice mv^2/2 = mg(h-2r) e sostituendo nella (**):
h >= 5r/2. (***)
(Notare che la massa e' un dato inutile!)

Che succede se la (***) non e' soddisfatta?
Il corpo si stacca dalla rotaia prima di arrivare in cima.
Calcoliamo dove cio' accade: sia alfa l'angolo mancante per arrivare
alla sommita'.
Sempre la cons. dell'energia dice
mv^2/2 = mg(h - r - r*cos(alfa)). (+)
Proiettando la (*) sul raggio, e tenendo presente che il distacco si
avra' nel punto in cui R=0:
mv^2/r = mg * cos(alfa).
Confrontando questa con la (+):
cos(alfa)) = 2(h-r)/(3r).

Si vede subito che alfa esiste solo se h <= 5r/2.
Per completezza: se h<=r non c'e' distacco, perche' il corpo arriva al
piu' all'altezza del centro della circonferenza.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sun Aug 11 2002 - 20:05:47 CEST