Re: Espansione dell'universo e fattore di scala

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: Thu, 9 Dec 2010 05:08:51 +0100

"luca" <luca0906_at_yahoo.it> ha scritto nel messaggio
news:9b702756-dd35-457f-bcc7-97dccea3ed44_at_j32g2000prh.googlegroups.com...
> In un vecchio post (del prof. Fabri) (...) (curvatura nulla).
> In questo modello c'e' un parametro (...) R dipendente da t .
> do il risultato R = bt^(2/3) dove b e' una certa costante che
> come vedremo se ne va nei conti che servono > .

1) scegli due galassie qualunque A e B , abbastanza lontane da
non interferire gravitazionalmente l' una con l'altra (solo cos�
possono seguire liberamente l'espansione dello spazio).

2) Metti in ascissa il tempo t (con origine t = 0 nell'istante in
cui � cominciata l'espansione) e in ordinata R la distanza tra
A e B (vedi post di Aleph). La RG dice che se lo spazio � piatto
la funzione R = R ( t ) � una curva del tipo R = b t ^ ( 2 / 3 )
dove b � una costante (nel senso di " indipendente dal tempo")
il cui valore � del tutto irrilevante: per capire le modalit�
dell'espansione, quel che conta � la forma della curva.

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Puoi anche vederla cos�: dalla legge

R = b t^(2/3) ( 1 )

hai che la velocit� di allontanamento di B da A in un qualunque
istante t �

V = ( 2 b / 3 ) / t ^ (1/3) ( 2 )

 (lo vedi facendo la derivata di R rispetto a t).

Sempre dalla ( 1 ) hai b = R / t ^(2/3) che messa nella ( 2 )
ti d�

V = ( 2 / 3 ) ( R / t ) ( 3 )

dove R � la distanza tra A e B nell'istante t.

La ( 3 ) equivale a dire che la costante di Hubble H
[definita come ( 1 / R ) d R / d t ] vale 2 / ( 3 t ).
Naturalmente qui "costante" vuol dire che � la stessa
per tutte le coppie di galassie ma non vuol dire che �
costante nel tempo, e infatti varia come 1 / t.

Come vedi, b sparisce dai calcoli.

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> R e' un fattore di scala
> b e' una costante (ma poi va via)
> t e' il tempo
> se per esempio avessi t 100 sec
> avrei R = b* 100^(2/3) e dato che b va via........ avrei R =
> 100^(2/3) , R = 21,5 (circa)

eh no, non � cos� che funziona.
Queste sparizioni magiche le fa Harry Potter ma
in fisica non si fanno :-)
Tutto quello che puoi dire � che al tempo t = 100 s
(non � importante ma te lo dico: in fisica non si usa
pi� sec, si preferisce la semplice s ) avresti R = b 100^(2/3)
e fin qui OK, ma a questo punto devi specificare quale
coppia di galassie consideri, perch� sei libero di scegliere
la coppia che ti pare:se scegli due galassie molto lontane hai
un b grande, se ne scegli due non tanto lontane hai un b pi�
piccolo; insomma, nello stesso istante t (stessa epoca cosmica)
esistono tanti b quante sono le coppie che puoi considerare.

Una volta scelte le due galassie A e B (e la scelta � arbitraria)
devi tenere sotto osservazione sempre quelle due galassie,
e dal modo in cui si allontanano col passare del tempo puoi
tracciare il diagramma R - t ; ebbene, nel caso di spazio piatto
la RG prevede che tu, in base a queste osservazioni ripetute in
diversi t sulla stessa coppia di galassie, troveresti la curva
R = b t^(2/3), e il parametro b vale quello che vale per quella
data coppia, ma se avessi fatto le misure osservando un'altra
coppia avresti trovato s� la stessa legge (cio� una legge di potenza
con esponente 2 / 3 ) ma con un b diverso. E' chiaro che b deve
sparire dalle formule generali che caratterizzano il modello, dato
che b � legato all'arbitrariet� di scelta delle coppie mentre le leggi
generali devono avere validit� universale. Per esempio non sarebbe
sensato un risultato del tipo H = H (t , b) perch� avresti nella stessa
epoca tante costanti di Hubble tutte diverse fra loro, quante sono
le galassie a disposizione dell'osservatore.

La ragione del fatto che in uno spazio piatto R e t sono legati
tramite un parametro b non ben definito (cio�: b non � una
costante universale ma dipende, fissato un istante t, dalla coppia
di galassie che consideri) viene dal fatto che in spazio piatto non
esiste una lunghezza "speciale" che si possa prendere come
riferimento naturale per la misura delle distanze. E' chiaro questo
punto? Voglio dire che se sei in uno spazio piatto e ti domandi
"c'� in questo spazio una lunghezza particolarmente interessante ? "
la risposta � no. Nello spazio curvo invece una lunghezza speciale
c'� ed � il raggio di curvatura dello spazio, che � una lunghezza fornita
dalla natura stessa e che � quindi molto **naturale** (appunto)
assumere come unit� di misura, o se preferisci come lunghezza di
riferimento, o se preferisci come fattore di scala R capace di descrivere
l'espansione (o eventualmente la contrazione, dipende dal modello).

Ecco perch� nello spazio curvo la funzione R(t) non contiene
nessun b eliminabile. Se non ne sei convinto ti ci faccio sbattere
contro il naso con formule molto concrete:

Nello spazio piatto la RG prevede:

R (t) = b t^(2 / 3 ) (e questo lo sapevi gi�)

e prevede anche (forse non lo sapevi)

b = ( 9/2) ^(1/3) ( G / c^2)^(1/3) M(R) ^ (1/3)

dove G � la costante di gravitazione, c la velocit� assoluta
(volgarmente chiamata "velocit� della luce") e M....cos'� M?

Ecco il punto: M � la massa racchiusa nel volume di spazio
di raggio R, dove R, come ti ho gi� detto, � la distanza fra
le due galassie campione che hai deciso di prendere in esame
per studiare la legge dell'espansione. E poich� puoi scegliere
le galassie che ti pare, R � arbitrario e quindi anche M � arbitrario.
Cio�, M � s� ben definito e quindi anche b � ben definito, una volta
scelta una certa coppia, per� se ne scegli un'altra, hai un altro M e
quindi un altro b. Non so se mi sono spiegato.

Nello spazio curvo invece non succede niente del genere, perch�
il legame R e t � di altro tipo: per esempio, nello spazio a
curvatura positiva (cio� con volume finito: � il famoso spazio
finito e illimitato che probabilmente conosci perch� fino a poco
tempo fa ne parlavano tutti i libri di divulgazione - bisogna
ammettere che ha un certo fascino - e che oggi per� � passato di
moda perch� � invalsa l' idea che lo spazio sia piatto, solo che non
c'� ancora nessuna prova di questo fatto) trovi che R � s� legato a
M , solo che adesso in questo M non c'� niente di arbitrario: �
nient'altro che la massa totale della materia racchiusa nel volume
totale (finito) dello spazio e il suo ammontare � quel che �, non
dipende dalla scelta arbitraria delle galassie che hai deciso di tenere
sotto osservazione.

Ecco perch� in questo caso non esiste nessun b arbitrario ed elimi-
nabile. Un discorso analogo vale nello spazio a curvatura negativa
che �, a differenza del caso positivo, infinitamente esteso ma che
essendo curvo ha un preciso raggio di curvatura R che � oggettivo,
e non contiene nessuna arbitrariet�. Anche qui non c� nessun b.
Ti risparmio i dettagli.

Ah, non che sia importante ai fini del nostro discorso
ma solo per precisare:
l'espansione non avviene tra le galassie ma tra gli ammassi.
che sono molto pi� lontani tra loro di quanto non siano
le galassie, quindi avrei fattto meglio a scrivere:
"scelti due ammassi A e B " e parlare di coppie di ammassi,
e non di galassie. A questo punto sorge spontanea una domanda
pi� volte sollevata in questo NG e cio�: come mai l' espansione
si manifesta solo oltre una certa distanza e non su scala locale ?
Ma questo � un altro problema.

Bye
Corrado
Received on Thu Dec 09 2010 - 05:08:51 CET