Buongiorno, Giovanni Corbelli ha scritto:
[cut]
>Arrivo a trovare i punti lagrangiani in questo
> modo: mi metto in un sistema solidale con le due masse e considero la funzione
> potenziale ottenuta sommando i potenziali gravitazionali delle masse e il
> potenziale centrifugo. Trovo cinque punti in cui il potenziale e' stazionario,
> ma in nessuno di questi il potenziale ha un minimo relativo, e cio' si puo'
> dedurre dal fatto che il laplaciano di questo potenziale, laddove non e'
> singolare, e' costante e negativo, quindi lo hessiano non e' mai definito
> positivo avendo traccia negativa.
Ok, infatti il laplaciano del potenziale gravitazionale e' nullo dove e'
tale la densita' di massa, e quello del potenziale centrifugo (misurato
con origine nel c.d.m.) e' costante e negativo.
> Il potenziale ha punti di sella nei tre punti allineati con la retta passante
> per le due masse (quelli considerati di equilibrio instabile nell'articolo) e
> punti di massimo relativo nei due punti che formano con le masse triangoli
> equilateri (quelli dei satelliti troiani sull'orbita di Giove, considerati
> stabili nell'articolo).
A me risulterebbero punti di sella anche in L4 e L5, in particolare
il potenziale aumenta per un piccolo spostamento nella direzione
ortogonale al piano dell'orbita, dato che il potenziale centrifugo che
dipende solo dalla proiezione del raggio vettore nel piano dell'orbita
e' invariato, mentre il potenziale gravitazionale aumenta perche'
aumenta la distanza dalle due masse che generano il campo gravitazionale.
> Secondo la mia analisi semplificata, dunque, tutti i punti sono di equilibrio
> instabile, d'altronde i satelliti troiani sono ancora li', e quindi tanto
> instabili quei due punti non devono essere...
> Come si puo' evincere la "stabilita'" dei punti lagrangiani?
Se consideriamo il potenziale sviluppato al secondo ordine intorno
al punto di equilibrio L4 (o L5) preso come origine, calcoliamo la
forza come gradiente del potenziale e introduciamo la forza di
Coriolis, troviamo che esistono soluzioni all'equazione del moto
in forma di piccole oscillazioni intorno ad L4 a condizione che
valga per il rapporto tra le masse dei due corpi la disuguaglianza
M / m >= [1 + SQRT(23/27)] / [1 - SQRT(23/27)] ~ 25,
ampiamente soddisfatta ad es. per Sole e Terra.
Direi quindi che la condizione di stabilita' vada intesa nel senso che
un corpo di piccola massa posto in L4 o L5 se per qualche ragione
si allontana di poco dalla posizione di equilibrio acquista una velocita'
non nulla e quindi a causa della forza di Coriolis inizia ad oscillare
intorno a quella posizione.
[nota: non ricordavo gran che dell'argomento, ma ho colto l'occasione
per riesumare i miei appunti di meccanica, spero che non fossero
troppo sbagliati :-)]
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Fri Jul 19 2002 - 10:10:50 CEST