Re: andiamo a pesca di perle?... Punti lagrangiani "stabili"

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 19 Jul 2002 20:39:11 +0200

Giovanni Corbelli ha scritto:
> ...
> Arrivo a trovare i punti lagrangiani in questo
> modo: mi metto in un sistema solidale con le due masse e considero la funzione
> potenziale ottenuta sommando i potenziali gravitazionali delle masse e il
> potenziale centrifugo. Trovo cinque punti in cui il potenziale e' stazionario,
> ma in nessuno di questi il potenziale ha un minimo relativo, e cio' si puo'
> dedurre dal fatto che il laplaciano di questo potenziale, laddove non e'
> singolare, e' costante e negativo, quindi lo hessiano non e' mai definito
> positivo avendo traccia negativa.
Vero.

> Il potenziale ha punti di sella nei tre punti allineati con la retta passante
> per le due masse (quelli considerati di equilibrio instabile nell'articolo) e
> punti di massimo relativo nei due punti che formano con le masse triangoli
> equilateri (quelli dei satelliti troiani sull'orbita di Giove, considerati
> stabili nell'articolo).
Vero anche questo.

> Secondo la mia analisi semplificata, dunque, tutti i punti sono di equilibrio
> instabile, d'altronde i satelliti troiani sono ancora li', e quindi tanto
> instabili quei due punti non devono essere...
Eh gia' :-)

> Come si puo' evincere la "stabilita'" dei punti lagrangiani?
Il punto e' che ti sei messo in un rif. rotante (non inerziale, quindi)
e il criterio del minimo del potenziale non e' piu' necessario (forse
neppure sufficiente, ma non sono sicuro).
Devi rifarti alle origini: scrivere le eq. del moto, linearizzarle
attorno a uno dei punti di equilibrio, e studiare la stabilita', ossia
l'esistenza di eventuali soluzioni ad andamento esponenziale divergente
nel tempo.
Mi chiederai: non e' proprio cosi' che si arriva al criterio del minimo
per il potenziale?
In un rif. inerziale si', ma nel nostro rif. nelle eq. del moto compare
anche la forza di Coriolis, che essendo prop. alla velocita' non
influisce sulle posizioni di equilibrio, ma conta e come per la
stabilita'.

A conti fatti (puoi provare) succede che i primi tre punti di Lagrange
(quelli allineati) restano comunque instabili, mentre gli altri due
risultano stabili (pur essendo dei massimi) almeno se il rapporto delle
masse dei due primari non e' troppo vicino a 1. Non ricordo a memoria il
numero esatto, ma so che la stabilita' e' assicurata per Sole-Giove, e
anche per Terra-Luna.

Intuitivamente, quando l'asteroide tenta di allontanarsi dal punto di
equilibrio, perche' spinto da una forza che e' appunto verso l'esterno
(massimo del potenziale) la sua traiettoria viene immediatamente
incurvata dalla f. di Coriolis, e non puo' allontanarsi indefinitamente.
Il suo moto rimane quindi oscillatorio, ergo stabile.
Dico di piu': da un'integrazione numerica si vede che la stabilita' e'
molto estesa. Con opportune condizioni iniziali si puo' far muovere
l'asteroide in un'estesa regione a forma di fagiolo, fra Sole e Giove.
Il che vuol dire che i Troiani possono oscillare parecchio in
longitudine, pur conservando un periodo orbitale medio uguale a quello
di Giove.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Fri Jul 19 2002 - 20:39:11 CEST