Angelo M. ha scritto:
> Sui non addetti ai lavori il fenomeno dell'entaglement esercita, io
> credo, un fascino particolare.
> In questa categoria di persone ci sono anche io, che non ho studiato
> la fisica oltre a quella del liceo.
> Ma questo fatto che due sistemi lontani possano essere, per così
> dire, telepatici, stimola la fantasia.
Meriti la precedenza per un solo motivo: sei il solo nel NG a non
occuparsi in questi giorni di velocità della luce one-way ecc.
> Ho provato ad approfondire.
Uhmmm... Il fascino può essere una motivazione, ma può anche portare a
conclusioni affrettate, a false analogie, ecc. In parte - suppongo -
causate da letture poco consigliabili.
Di autori che pretendono di spiegare "in parole semplici" (quanto odio
questa espressione!) ciò che non si può spiegare senza introdurre e
chiarire per bene concetti tutt'altro che banali, ne trovi quanti ne
vuoi.
Ma non vi viene mai in mente che se si trattasse di argomenti che è
possibile spiegare "in parole semplici ai "non addetti ai lavori", non
ci sarebbero voluti anni e anni per cominciare a capirli da parte di
cervelli di tutto rispetto?
Lo sai che la m.q. ormai si avvicina al secolo di vita?
> Ciò per dire che il fenomeno è chiaramente compreso, e prevedibile,
> nei principi di base della meccanica quantistica; non è meno
> misterioso del fatto che un sistema possa esistere in stati
> sovrapposti.
La sovrapposizione di stati è forse il principio più fondamentale
della m.q., quello dove questa si differenzia dalla m.classica.
Ma non c'è niente di misterioso: si tratta di una diversa, nuova
definizione di "stato" di un sistema fisico.
Ma non la si capisce a chiacchiere: è legata a una precisa struttura
matematica, quella di spazio vettoriale.
In m.classica quando si parla di "stato" (ma non è un uso frequente)
s'intende l'insieme d'informazioni che occorre conoscere a un istante
t0 per poter prevedere esattamente lo stato a qualunque altro istante
(una volta assegnata la dinamica del sistema ossia le forze agenti o -
in termini più formali - la hamiltoniana).
In m.classica la risposta è che occorre conoscere al tempo t0 le
posizioni e le velocità di tutte le particelle costituenti il sistema
(ed è sottinteso che questa conoscenza sia possibile).
Esempio: il sistema potrebbe essere il sistema solare. Semplifichiamo
dimenticando i satelliti e trattando Sole e pianeti come punti
materiali di date masse. Allora *assunto un sistema di rif.
inerziale*, occorre e basta conoscere posizioni e velocità del Sole e
degli 8 pianeti da Mercurio a Nettuno (come saprai Plutone è stato
declassato: non è più un pianeta e comunque ha una massa che è 1/700
di Nettuno).
Sono 54 dati numerici, assegnati i quali è univocamente determinata la
soluzione di un sistema di eq. differenziali che ti dà le posizioni e
velocità a qualsiasi altro istante.
(Nota che in questa frase ho usato 4 volte la parola "sistema" con 4
significati diversi: sistema meccanico, sistema solare, sistema
inerziale, sistema di equazioni. Alla faccia del rigore
fisico-matematico! Ma non è colpa mia: questo è l'uso universale, e
già solo per non confondersi a causa di ciò occorre un buon
addestramento.)
Se passiamo alla m.q. la definizione di stato cambia completamente.
Per stato s'intende ancora
"l'insieme d'informazioni che occorre conoscere a un istante
t0 per poter prevedere esattamente lo stato a qualunque altro istante"
ma cambia la definizione di questo insieme, che invece di essere
formato da certi numeri (54 nell'esempio) è un ente matematico del
tutto diverso. Semplificando alquanto, è quello che si chiama un
elemento di uno spazio vettoriale, ossia il "vettore di stato".
(Nota. La definizione non è precisa per più ragioni ma la chiarirò
meglio più avanti.)
La parola "vettore" aiuta a capire, perché non ti giungerà nuova: i
vettori li hai già incontrati come freccine, usate in m.classica per
rappresentare forze ma anche velocità, accelerazioni, spostamenti, e
poi campi elettrici e magnetici...
Solo che ora le "freccine" le devi pensare come *enti astratti*, che
non son posti nello spazio fisico, ma in uno spazio a sé (appunto lo
spazio vettoriale). E già questa è un ginnastica mentale non banale,
che a qualcuno riesce, ad altri no.
Se appartieni alla categoria dei no, scordati di capire la m.q.:
potrai solo fare delle chiacchiere vuote.
Per passare nella categoria dei sì c'è un solo modo: studiare.
Dicendo che i vettori di stato sono enti astratti, intendevo che sono
definiti *esclusivamente* dalle operazioni che su di essi sono
consentite.
Queste in partenza sono soltanto due:
1) La *somma*: dati due vettori u e v, la somma u+v fornisce un nuovo
vettore. Inoltre u+v=v+u.
2) La *moltiplicazione per un numero* (scalare). Dato un vettore u e
un numero c è definito il prodotto cu che è un nuovo vettore.
Sono stato reticente su che genere di numero sia c. Ora spiego.
Nel caso dei vettori che già conosci, c può essere un qualsiasi numero
*reale*.
Nel caso della m.q. c può essere un *numero complesso*.
Come mai questa novità? Un po' di pazienza :)
Possiamo mettere insieme le due operazioni come segue.
Presi due vettori u e v e due scalari c e c', in un primo tempo
costruiamo cu e c'v, poi li sommiamo: cu+c'v.
Questa è un'espressione sempre definita, ed è la più generale
*sovrapposizione* dei due vettori u e v, con coefficienti scalari c e
c'.
Nota che le sovrapposizioni di u e v sono infinite, a seconda dei
coefficienti. Ma in generale non si riesce così facendo a ottenere
*tutti* i vettori di stato. Questo dipende dal sistema fisico, il cui
spazio degli stati può essere più o meno "ampio".
Ci sono due casi semplici di grande importanza:
a) lo spazio degli stati di spin di un elettrone
b) lo spazio degli stati di polarizzazione di un fotone.
In entrambi i casi, partendo da due vettori u e v, con la sola
condizione che siano *indipendenti*, ossia che non esista nessuno
scalare k tale che u=kv nè che v=ku, con le combinazioni lineari di u
e v si ottengono *tutti* i vettori di stato.
Si dice che nei due casi lo spazio degli stati ha dimensione 2.
Sarebbe facile mostrare esempi più complicati in cui la dimensione è 3
(occorrono almeno 3 vettori per arrivare tramite sovrapposizioni a
tutti gli stati) e anche con dimensione intera qualsiasi.
Ma c'è di molto peggio: in casi importantissimi la dimensione può
diventare infinita.
Sorvolo per necessità, ma è per questo motivo che la matematica della
m.q. diventa parecchio più complicata di quella della m.classica.
Voglio insistere un po' sull'esempio a), ma prima debbo chiarire un
punto importante, senza del quale ciò che ho scritto finora sarebbe
semplicemente sbagliato.
Non è vero che lo stato di un sistema quantistico sia rappresentato da
un vettore in uno spazio vettoriale di opportuna dimensione sul campo
complesso.
Non è vero nel senso che la corrispondenza non è uno a uno: ogni
vettore rappresenta uno stato, ma uno stato può essere rappresentato
da vettori diversi.
Più precisamente: se u rappresenta un certo stato, ogni cu (c non
nullo) rappresenta *lo stesso* stato.
Quindi - dati u e v - u+v, 2u+2v, (-1)u+(-1)v, rappresentano lo stesso
stato.
Mentre u+2v è uno stato diverso e 2u+v ancora un altro diverso.
Poi le cose sono complicate dal fatto che si possono - si debbono -
usare numeri complessi.
Perché si debbono? Vediamo subito.
Torniamo all'esempio dello spin di un elettrone. Lo spin non è che un
momento angolare, che è un vettore nel senso della m.classica, può
quindi avere una grandezza e una direzione.
Per l'elettrone (come per tutte le altre particelle elementari) la
grandezza è fissata: si dice che l'elettrone ha spin 1/2 se misurato
in unità h-tagliato (hbar) ma la direzione può essere qualsiasi.
E questo esaurisce tutti gli stati possibili.
Una possibile notazione è |+z> per indicare spin diretto nel verso
positivo dell'asse z, |-y> verso negativo dell'asse y, ma sono
possibili - lo ripeto - tutte le direzioni.
E ora un punto delicato: consideriamo |+z> e |-z>: quelli che
colloquialmente si chiamano spin-su e spin-giù. Visto che differiscono
soltanto per il verso, non siamo nel caso di u e cu, con c=-1?
Risposta: assolutamente no. Questi sono *stati diversi*, quindi i
vettori di stato non possono essere rappresentati da vettori nella
relazione u e cu, che come sappiamo danno lo stesso stato.
La possibile confusione deriva dal non distinguere la direzione del
momento angolare nello spazio fisico (reale, geometrico,
tridimensionale) dal vettore nello spazio vettoriale.
Non solo |+z> e |-z> sono diversi, ma lo sono anche |+x> e |-x>, |+y>
e |-y>, e tutti gli infiniti altri vettori di stato che rappresentano
spin che punta in direzione diversa nello spazio fisico.
Ammesso ora che chi mi legge non si sia perso per strada, dovrebbe
pormi una domanda:
"Più sopra hai scritto che lo spazio degli stati di spin ha dimensione
2, il che vuol dire che tutti i vettori di stato si possono ottenere
come sovrapposizione di due vettori indipendenti. Quindi per es.
debbono esistere c e c' tali che
|+x> = c|+z> + c'|-z>.
Come si trovano questi c e c'?"
Naturalmente la risposta esiste, ma dopo averci pensato ho deciso che
è meglio se non m'impegno a scriverla
Farei diventare questo post spropositatamente lungo, e spero di
poterne fare a meno.
Però ti scrivo la soluzione per alcuni casi:
|+x> = |+z> + |-z> (ossia c=1, c'=1)
|-x> = |+z> - |-z> (ossia c=1, c'=-1)
|+y> = |+z> + i|-z> (ossia c=1, c'=i)
|-y> = |+z> - i|-z> (ossia c=1, c'=-i).
Noterai che ho dovuto usare coefficienti complessi: perché?
Rispondo senza dare giustificazione: perché usando solo coeff. reali
potrei solo ottenere direzioni di spin nel piano (x,z).
Ma questo suscita un'altra domanda: come mai |+z> + i|-z> è diverso da
|+z> + |-z>. se |-z> e i|-z> rappresentano lo stesso stato?
Anche a questa domanda rispondo senza poter dare una vera
giustificazione.
Se è vero che il fattore arbitrario non cambia lo stato, non è vero
che sia anche arbitrario in una sovrapposizione: in una sovrapp. la
*fase* relativa dei coeff. è significativa.
Alla fin fine, queste sono le regole della m.q.
> a) Un sistema può esistere in sovrapposizione di stati, in modo che
> una misura, un'osservazione, un campo, o chissà quale altro
> accidente, lo costringa a ridursi, casualmente, in uno degli stati
> possibili
Questa tua frase va chiarita, perché così scritta è ambigua o peggio
indica un fraintendimento profondo.
E' vero che dalla sovrapp. di due dati stati se ne ottiene un altro
(infiniti altri, a seconda dei coeff.)
Ma è anche vero che il vettore sovrapp. può essere ottenuto in
infiniti modi. Del resto ciò vale ache per i semplici vettori nel
piano della fisica elementare: se u+v=w, ci sono infiniti altri modi
di ottenere w come somma di altre coppie u'+v' (prova con una figura).
Inoltre una volta costruito il vettore sovrapp. questo è un vettore di
stato "by its own right" e non contiene traccia di come è stato
ottenuto.
C'è poi nella tua frase un'altra ambiguità:
> una misura, un'osservazione, un campo, o chissà quale altro
> accidente
No: solo una misura fa quello che dici. Più esattamente: una misura è
sempre misura di una qualche osservabile.
Ogni osservabile possiede uno "spettro" di autovalori e relativi
autovettori.
La misura di quella osservabile comporta l'interazione del sistema con
un "apparato di misura", che è un oggetto macroscopico caratteristico
di quell'osservabile.
Quest'interazione ha per effetto di modificare *in modo casuale* lo
stato del sistema, trasformandolo in uno degli autostati
dell'osservabile. Lo strumento di misura fornisce in corrispondenza,
come risultato della misura, il relativo autovalore.
"Modo casuale" significa che ciascuno dei risultati possibili ha
associata una certa probabilità, che dipende dallo stato di partenza e
dall'osservabile.
Anche qui sono costretto a sorvolare su come questa probabilità può
essere calcolata. (Insomma, questo non è un corso di m.q. :-) )
Comunque non ho affatto finito ciò che voglio dire, ma faccio una pausa.
--
Elio Fabri
Received on Sat Dec 11 2021 - 15:17:17 CET