"Astro999" <astro999_at_nospam.it> wrote in message
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> Salve a tutti
> Ho una difficolt� nel dimostrare il Teorema di Gauss relativo al
> flusso del campo elettrico attraverso una superficie nel caso in cui
> la carica non sia puntiforme ma sia una distribuzione continua,
> infatti se la carica � puntiforme il flusso del campo elettrico da
> essa prodotto attraverso la superficie S � dato da phi(E_0)=Q/eps_0
> dove Q � la carica contenuta internamente alla superficie S, se invece
> la carica non � puntiforme ma � un distribuzione i carica allora il
> flusso assume la seguente espressione phi(E_0)=int_V {rho dx dy
> dz}/eps_0 dove int_V � l'integrale esteso al volume V racchiuso dalla
> superficie S (cio� il dominio di R^3 di cui S ne � la frontiera).
> Questa generalizzazione come si ottiene certamente non sostituendo
> brutalmente alla Q l'integrale su V di rho.
> Io ho immaginato che la dimostrazione sia la stessa che viene fatta
> nel caso in cui il campo � prodotto da una carica puntiforme se si
> suppone di prendere in considerazione un volume infinitesimo in cui
> sia presente una carica infinitesima dq=rho dx dy dz e quindi si
> ottiene che il flusso del campo elettrico prodotto da tale cubetto
> elementare attraverso la superficie S � dato da phi(e_0)=dq/eps_0.
> Sommando i contributi di tutti i volumi infinitesimi (dx dy dz) in cui
> si � immaginato di dividere il volume V si deve fare l'integrale
> esteso al volume V di dq/eps_0 e il risultato che si ottiene � il
> flusso del campo elettrico prodotto dalla distribuzione di carica rho
> attraverso la superficie S.
> Tale risultato per� non mi convince molto perch� viene condotta
> l'approssimazione dq=rho dx dy dz considerata come carica puntiforme.
Se ho ben capito, tu stai pensando ad una dimostrazione in cui in ogni
volumetto dxdydz applichi il teorema dimostrato per il caso di carica
puntiforme: il flusso e' q/eps_0 per ogni volumetto, con q carica nel
volumetto, e sommando (=integrando) ottieni la somma delle cariche q
diviso eps_0, che e' proprio Q/eps_0. Correggimi se sbaglio, ma mi
sembra di capire che dimostri cosi'.
L'obiezione concettuale che vi si puo' apportare non e' pero' quella che
dici tu, ma magari piuttosto la seguente.
Tu vuoi valutare, col teorema di Gauss, il flusso del campo E sulla
superficie S che racchiude TUTTO il volume V. Mi segui? Per questo devi
valutare il campo E SULLA SUPERFICIE S, non altrove. Nella tua
dimostrazione tu prendi i flussi nei volumetti e li sommi. A parte la
difficolta' concettuale di capire perche' la somma di questi flussi
dovrebbe dare il flusso attraverso la superficie S (che senso ha in
generale sommare flussi
attraverso differenti superfici?), a parte questo dicevo, tu stai
valutando il campo sulle superfici dei volumetti (per valutare il flusso
li') per ottenere qualcosa che si calcola col campo valutato altrove.
Capisci che voglio dire?
Non e' in realta' sbagliato: il campo su superfici di volumetti
affacciate da flussi in modulo uguale ma di segno opposto: cosi' tutti i
flussi su queste superfici si "compensano", tranne quelli sulla
superficie esterna S (i volumetti che le sono adiacenti non hanno altri
volumetti affacciati). Pensaci un po' e capirai che e' cosi'. Quindi,
cosi' ragionando, la somma dei flussi attraverso le superfici dei
volumetti da' effettivamente il flusso attraverso S. Sommando i secondi
membri, cioe' le q/eps_0, ottieni effettivamente Q/eps_0.
Non e' sbagliata, magari non e' elegantissima.
La dimostrazione per cosi' dire "ufficiale" parte dal principio di
sovrapposizione dei campi. Il principio ti dice che se hai le cariche q1
e q2 e vuoi calcolare il campo E da esse generato, in OGNI PUNTO E e' la
somma dei campi E1 e E2 che ciascuna carica genererebbe "da sola", come
se l'altra non ci fosse.
Allora procedi cosi':
dividi il volume V in tanti volumetti dxdydz, ciscuno con la sua carica
infinitesima q;
per calcolare il flusso di E ti serve il campo E DI TUTTE le cariche q
nel volume; ANZI: ti serve il campo E dovuto a TUTTE LE CARICHE
DELL'UNIVERSO (mica possiamo assumere gia' che ci servono solo quelle
interne? che facciamo, usiamo la tesi come ipotesi?);
pertanto, dividi tutto l'universo in volumetti, ciascuno dei quali ha la
sua carichetta q;
applica il principio di sovrapposizione: il campo E e' la "somma"
(integrale) dei campi generati dalle singole q; in OGNI PUNTO su S sara'
cosi'; pertanto puoi calcolare il flusso di E come somma dei flussi SU S
dei singoli "campetti" (VALUTATI SU S!!!) dovuti alle carichette nei
volumetti;
bene, per ciascuno di essi applica il teorema di Gauss per carica
puntiforme: se la carica q e' esterna al volume V, il flusso DEL SUO
CAMPO ATTRAVERSO S e' nullo; se e' interna, il flusso DEL SUO CAMPO
ATTRAVERSO S vale q/eps_0;
questi flussi ora li puoi sommare senza scrupoli concettuali, per quanto
abbiamo detto due punti fa (principio di sovrapposizione);
e il gioco e' fatto:
flusso = somma dei "flussetti" = (somma delle q)/eps_0 = Q/eps_0
e Q e' proprio l'integrale di rho sul volume V.
In fondo, questa dimostrazione, se ci pensi, richiama un po' la "brutale
generalizzazione" di Q carica puntiforme con Q carica uniformemente
distribuita, che sembravi aborrire tanto...
Naturalmente, anche in quello che scrivo considero dq = rhodxdydz come
carica puntiforme. Ma questa NON E' UNA APPROSSIMAZIONE. Non lo e'
perche' tu consideri volumetti INFINITESIMI: piu' puntiformi di cosi'...
Piu' rigorosamente: il volumetto diventa un punto in un operazione di
limite, giusto? Sei d'accordo su questo, no? Ebbene, ricordati che nel
fare un integrale tu esegui FORMALMENTE E RIGOROSAMENTE un limite
siffatto, una somma di infiniti contributi dovuti a volumi puntiformi (o
a superfici puntiformi, o a segmenti puntiformi, se parli invece di
integrali di superficie o di linea). La tua voglia di rigore non
dovrebbe esserne affatto turbata...
Piuttosto, se proprio ti va di storcere il naso davanti alle
approssimazioni, pensa che una vera approssimazione e' la carica
puntiforme (ma forse non te lo fa storcere il naso: la carica puntiforme
e' un'approssimazione nella realta', ma non concettuale, mentre quella
che tu credevi un'approssimazione lo sarebbe stata dal punto di vista
del rigore formale; comunque sappi che il concetto di carica puntiforme
qualche problemino concettuale in elettrostatica lo crea...).
> Questo risultato � legato alla funzione rho e nulla mi assicura che
> tale funzione sia finita nel volume dx dy dz o che non sia in alcuni
> punti un infinito.
E se anche fosse? Ricorda che per avere un integrale finito non e'
necessario che la funzione integranda sia ovunque finita. Il valore in
un punto conta poco, quello che conta e' cio' che accade nell'intorno.
Altrimenti detto: conta il tipo di divergenza (criteri di sommabilita'
ecc. ecc.).
Se poi mi chiedi: e che ne sai che l'integrale converge... beh, ti
rispondo che ci pensa la natura, che una carica infinita e' un assurdo
fisico (almeno nella fisica "onesta" che stiamo trattando; dico questo
per non attirarmi le ire di qualche fisico teorico...).
> Mi chiedevo se la dimostrazione veniva condotta cos� o se c'� un
> metodo diretto calcolando cio� il prodotto scalare di E_0 * n dS con
> E_0=(1/4 pi eps_0) int_V {(rho dx dy dz)/r^2}
Quella che ti ho mostrato e' una dimostrazione che in fondo fa questo,
solo col "trucco" formale del principio di sovrapposizione
> Vi ringrazio sin d'ora per l'aiuto
Prego, ma sono io che ringrazio te. Mi hai dato modo di pensare e
riflettere (all'inizio stavo scrivendo che la tua idea di sommare i
flussi dei volumetti interni per ottenere il flusso totale era
sbagliata, poi mi sono accorto dei contributi delle superfici affacciate
che si compensano e mi sono ricreduto, e' solo (forse!) poco elegante).
Prova invece tu a chiederti la seguente cosa: le carice interne alla
superficie S danno il flusso che abbiamo detto, quelle esterne non
contribuiscono; che dire di quelle esattamente sulla superficie?
Saluti
Woodridge
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Received on Thu Jun 20 2002 - 03:55:31 CEST