Re: sistemi non lineari

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 16 Jun 2002 20:10:44 +0200

Claudio ha scritto:
> come si riconosce un sistema lineare da uno non lineare?
> Per i sistemi dissipativi e' ovvio, ma per sistemi non dissipativi?
> Ad esempio (e correggetemi se sbaglio): un biliardo e' un sistema lineare.
> Ma perche' il biliardo di Sinai (quello con le circonferenze in mezzo) e'
> non lineare?
Ti correggo :)
Temo che tu abbia letto qualcosa che ti ha confuso le idee, fra "non
lineare" e "caotico".

Un sistema (dinamico, in tempo continuo) si dice lineare se l'equazione
differenziale (o il sistema di equazioni) che ne descrive il moto e'
lineare.
Non so se ne sai abbastanza di questa parte della matematica, in
particolare delle eq. differenziali. Temo di no, altrimenti la domanda
non l'avresti fatta; ma non vedo come spiegare di piu' in poche parole.
Ti do solo qualche esempio: tra i sistemi semplici che certo conosci,
l'oscillatore armonico e' lineare; il pendolo semplice non lo e', se non
nell'approssimazione delle piccole oscillazioni.
Un pianeta che gira intorno al Sole non e' lineare.

Non capisco come mai ti sembri ovvio se un sistema dissipativo e'
lineare o no; secondo me non lo e'.
Per es. l'oscillatore arm. di cui sopra resta lineare anche se ci metti
una resistenza al moto proporzionale alla velocita', ma non lo e' piu'
se la resistenza e' prop. al quadrato della velocita'.

Tutt'altra cosa e' un sistema caotico: si tratta di un sistema il cui
moto e' fortemente (esponenzialmente) sensibile alle condizioni
iniziali. Un effetto e' che un piccolo errore in queste viene
amplificato nel tempo, rendndo di fatto impossibile ogni previsione. Ma
di piu': il moto acquista un carattere complicatissimo, sul quale non
posso dilungarmi.

Ora si puo' facilmente dimostrare che un sistema lineare non e' mai
caotico: al piu' puo' avere dei punti d'instabilita', ma non e' mai
complicato.
Il viceversa non e' vero, nel senso che non e' detto che se un sistema
non e' lineare sia per forza caotico: i due esempi (pendolo, pianeta)
che ti ho fatto sopra non sono caotici.
E' pero' vero di fatto che sistemi non lineari e non troppo semplici di
solito sono caotici, o almeno hanno delle regioni caotiche. L'esempio
piu' famoso e' il problema dei tre corpi, studiato oltre un secolo fa da
Poincare': non un solo pianeta, ma due, se si tiene conto della mutua
attrazione tra i due pianeti.

Veniamo al biliardo. Il biliardo normale (ideale: sponde perfettamente
elastiche, niente attrito, una sola palla ridotta a un punto che non
rotola) non e' lineare, ma e' abbastanza semplice e ha una proprieta'
che tecnicamente si chiama "integrabilita'", da cui discende che non e'
caotico.
Invece la "piccola" modifica consistente nell'ostacolo circolare al
centro lo rende caotico, come ha dimostrato appunto Sinai.
Per la stessa ragione, basta che le palle siano due, e di nuovo il
sistema diventa caotico.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sun Jun 16 2002 - 20:10:44 CEST