Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it> wrote
> Si cerca la soluzione nell' insieme delle funzioni analitiche,
> espandibili quindi in serie di Taylor convergente.
> Si usa l' equazione come una relazione di ricorrenza tra i coefficienti
> della serie. Risolvendo la relazione di ricorrenza si ottengono
> esplicitamente i coefficienti e quindi si possono studiare le
> caratteristiche analitiche della soluzione (raggio di convergenza,
> zeri, ...).
Senti ma quello che dici ha forse a che fare con un discorso di questo tipo
? : Pochi giorni fa riflettevo, tutto da solo, su una questione e cio� mi
ero posto il problema di come poter trovare le soluzioni di un'equazione
differenziale lineare a coefficienti *non* costanti, per quelle a
coefficienti costanti si sa che non ci sono problemi per risolverle. Le
equazioni differenziali a coefficienti *non* costanti credo sono molto
importanti per la fisica ed a me mi era capitato di incontrarle, in
particolare, quando si scrive l'equazione di Schrodinger per gli elettroni
nel potenziale periodico cristallino. In questo caso per� si riesce a
trovare la soluzione abbastanza semplicemente. Quello che mi chiedevo, era
appunto, come poter trovare la soluzione quando i coefficienti a_i(x), i =
1, ..., n dell'equazione differenziale assumono espressioni parecchio
complicate e magari sono anche non elementarmente esprimibili. Ad un certo
punto ho fatto questo semplice ragionamento (qualitativo - senza rigore
matematico) Ho assunto che per gli a_i(x) e per la soluzione y(x) sia
possibile fare lo sviluppo in serie di Taylor ed ho sostituito all'equazione
differenziale, in questo modo mi sono ricavato delle relazioni tra i
coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor di y(x) e i coefficienti
dello sviluppo in serie di Taylor degli a_i(x). Dallo sviluppo in serie di
Taylor di y(x) poi si possono studiare le propriet� di y(x), se poi si
riesce a risalire all'espressione esplicita di y(x) tanto meglio altrimenti
vuol dire che y(x) non � elementarmente esprimibile (?) Poi credo si possa
fare anche un discorso pi� generale per equazioni differenziali alle
derivate parziali (che non conosco ma di cui mi sono fatto una certa idea)
considerando sviluppi in serie di Taylor multidimensionali. Mi ero
riproposto di sviluppare tutto il discorso a "punto e virgola" cio�
precisando bene le ipotesi e con tutto il rigore matematico necessario ...
ma se tutto ci� � gi� stato fatto da altri, come mi sembra di capire, che
cavolo ci perdo a fare del tempo. Ogni volta che mi viene in mente una cosa
poi scopro sempre che ci ha pensato sempre qualcun altro prima, sigh :o(, se
invece non ci ha pensato nessuno pensate che questo modo di procedere possa
essere interessante ?
ciao, DJ
Received on Mon May 20 2002 - 09:47:58 CEST