Ciao, ho risposto ieri sera ma non e` apparso niente...
Ora rispondo con piu` dettagli.
Vediamo di fare luce su quanto dici.
*se ho capito bene* tu dici: prendo una varieta`
con segnatura -+++ (o +--- a seconda dei gusti),
suppongo che il tensore di Ricci sia nullo ovunque.
Alora concludi che, se "foglietto" la varita`
con ipersuperfici di tipo spazio tridimensionali,
il tensore di Ricci in 3D su tali superfici si annulla,
per cui si annulla anche quello di Riemann (in 3D).
Quindi vale anche che la varieta`iniziale completa,
quella in 4D e` piatta e coincide globalmente con con lo
spazio di Minkowski.
Esaminiamo con calma.
1)In 3D. E` vero che se ho una varieta` in 3D e Ricci si
annulla su di essa allora si annulla anche Riemann?
SI e` vero, ho fatto il calcolo, in 3D, Riemann si scrive
come una combinazione lineare di Ricci e tensore metrico
permutando gli indici.
2)Torniamo in 4D. E` vero che, fogliettando lo spaziotempo
con ipersuperfici (quindi 3D) di tipo spazio, SE il tensore
di Ricci (o Riemann per 1)) riferito alla metrica 3D indotta
si annulla su ciascuno di questi spazi tridimensionali, allora
si annulla anche il tensore di Ricci o di Riemann in 4D in tutto
lo spaziotempo?
NO e` falso. Controesempio banale, prendo uno spaziotempo
con metrica (universo in espansione con sezioni spaziali piatte)
ds^2 = -dt^2 + f(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2)
dove f e` una funzione del tempo non costante.
Ciascuna ipersuperficie a t=costante e`chiaramente
piatta globalmente e quindi Ricci e Riemann in 3D si annullano
su diessa.
Viceversa Ricci e Riemann in 4D dello spaziotempo non si
annullano (eccetto scelte particolari di f o alcuni punti)
perche` lo scalare di curvatura della varieta`
in 4D alla fine e`:
R = 6(f''/f + (f'/f)^2)
dove ' indica la derivata in t.
3)E` vero che se una varieta` in n>0 dimensioni ha tensore
di Riemann nullo ovunque allora tale varieta` e` lo spazio
R^n dotato della metrica piatta (di Minkowski ovvero di Euclide
a seconda della scelta della segnatura).
Falso.
a) Controesempio metrico.
Prendo La varieta` R^n dotatta della
metrica piatta (Euclide o Minkowski) e considero un aperto
limitato in R^n con la metrica indotta.
Questa nuova varieta` ha tensore di Riemann ovunque nullo
ma non e` isometrica a tutto R^n con la metrica piatta.
b) Controesempio topologico.
Prendo in R^3 un cilindro infinito
e ci metto sopra la metrica indotta da R^3. La varieta`
bidimensionale che viene fuori ha tensore di Riemann ovunque
nullo, ma non e` R^2 nemmeno topologicamente, perche` R^2
e` semplicemente connesso e il cilindro no.
Il controesempio si generalizza subito a varieta` euclidee
e pseudoeuclidee in dimensione arbitraria...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Thu Apr 25 2002 - 12:06:16 CEST