Avevo scritto:
> Ora spenderò un po' di tempo a spiegare, a te e ad altri
> eventualmente interessati, il significato preciso della rel.
> d'indet., o meglio e più in generale, dell'indeterminismo
> quantistico.
> Mi baso su un esempio semplice e tradizionale: la polarizzazione dei
> fotoni.
Rileggendo ciò che ho scritto dopo mi sono accorto che in un punto c'è
una cosa errata, che ho contraddetta poco dopo.
Forse non ve ne siete accorti, o forse non avete avuto coraggio di
rilevarlo. Comunque non posso lasciar cadere la cosa, sapendo che
Google non perdona, e quello che ho scritto resterà forse per altri 20
anni :-)
La frase incriminata è la seguente:
> E che succede se i fotoni incidenti sono polarizzati a 45°?
> Si vede che all'incirca metà dei fotoni arrivano su A e metà su B,
> ossia metà dei fotoni escono dal nicol polarizzati H e metà polar. V.
Più avanti però si legge:
> Tornando all'esperimento coi fotoni, nota che la misura è completa
> solo dopo che i fotoni sono stati rivelati, non prima.
> Se fai entrare nel nicol fotoni tutti nello stesso stao (per es. a
> 45°) in uscita dal nicol hai *per ciascun fotone* uno stato
> "intrecciato" (entangled) in cui l'osservabile polarizzazione è
> intrecciata con l'osservabile posizione.
E' chiaro che le due frasi non vanno d'accordo, e solo la seconda è
giusta.
Il nicol non fa collassare lo stato in autostato della polarizzazione;
ha solo l'effetto che ho scritto dopo, ossia di separare spazialmente
lo stato H dallo stato V.
La prova di questo è che se si ricombinano i due raggi, ordinario e
straordinario, si può ricostruire lo stato a 45°.
Non so se questo esperimento sia stato fatto, ma so che questa
possibilità è discussa in diversi libri.
Per es. nel cap. 5 del terzo volume delle "Feynman's Lectures". Però
non vi consiglio di andare oltre la fig. 5-3, se non volete perderci
la testa :-)
Ciò che m'interessa è che la fig. 5-3 mostra un apparato che fa (con
atomi di spin 1) proprio quello che dicevo: ricostruisce un unico
fascio, in cui gli atomi (i fotoni) si trovano nello stesso stato di
spin che avevano entrando.
C'è un altro punto che voglio chiarire. Nella seconda ciatzione che
vedete sopra parlo di "osservabili intrecciate", e avreste potuto
obiettarmi che finora avevate soltanto sentito parlare di *stati*
intrecciati, non di osservabili.
Questo non è un errore, ma al più un abuso di linguaggio. Comunque
chiarisco.
In realtà c'è un'altra cosa che dovrebbe suonarvi insolita: di stati
intrecciati ne avrete sentito parlare solo per lo stato di un sistema
formato da due sottosistemi, eventualmente distanti tra loro, come
negli esperimenti alla Aspect.
Qui invece c'è un solo fotone: dove sono i sottosistemi?
Purtroppo per chiarire debbo dilungarmi un pochino.
Nel caso dei due sottosistemi separati, la cosa procede così, come
descrizione teorica.
Siano S1, S2 i due sottosistemi; ciascuno dei due ha il suo spazio di
Hilbert: H1, H2 e le sue osservabili, definite come operatori sui due
spazi.
Se considero S1 e S2 come un unico sistema, ad esso apparterrà uno
spazio di Hilbert H: in che relazione sta H con H1 e H2?
Risposta: H è il *prodotto tensoriale* di H1 e H2.
C'è una notazione per questo, che qui non posso riprodurre: un
cerchietto con dentro un segno di x. Io userò soltanto la x:
H = H1 x H2.
Va bene, ma questa è solo una notazione, com'è definito questo prodotto?
Fissiamoci sul caso degli stati di polarizzazione dei fotoni: tutti i
vettori di stato si esprimono come combinazioni lineari di |H> e |V>:
|P1> = a1 |H1> + b1 |V1>
per il primo fotone,
|P2> = a2 |H2> + b2 |V2>
per il secondo.
Nel prodotto tensoriale H una base consiste di 4 vettori:
|H1>|H2>, |H1>|V2>, |V1>|H2>, |V1>|V2>,
dove ho omesso il segno di prodotto per semplicità e perché è ovvio.
Da qui:
|P1>|P2> =
a1 b1 |H1>|H2> + a1 b2 |H1>|V2> + b1 a2 |V1>|H2> + b1 b2 |V1>|V2>.
Questo è il prodotto tensoriale di |P1> e |P2>, ma non è il più
generale vettore di H, che si scriverà
|Q> = c1 |H1>|H2> + c2 |H1>|V2> + c3 |V1>|H2> + c4 |V1>|V2>.
Il punto importante è che mentre |P1>|P2> è *fattorizzato* nel
prodotto di due vettori risp. di H1 e H2, questo non è vero in generale
per la combinazione con coeff. arbitrari c1, c2, c3, c4.
Lascio a voi il piccolo problema matematico di trovare la condizione
cui debbono soddisfare c1, c2, c3, c4 affinché |Q> risulti
fattorizzato.
Se non è fattorizzato, è uno stato *intrecciato* del sistema di due
fotoni.
Questo è qualcosa che dunque non dice niente di nuovo.
Ma si può fare un altro gioco, tenendo presente che un fotone (uno
solo) oltre l'osservabile polarizzazione possiede altre osservabili,
per es. la posizione z nella direzione in cui un nicol devia il
fascio.
Quindi lo spazio di Hilbert di *un fotone* è più complesso dei soli
stati di polarizzazione: dobbiamo includerci anche la posizione (qui
sarò interessato solo alla z, ma ci sarebbero anche le altre
coordinate).
Dato che polarizzazione e posizione non hanno niente in comune, posso
pensare che esistano due spazi di Hilbert separati: uno Hp per la
polarizzazione, coi vettori base |H>, |V>, e uno Hz per la coord. z,
di cui non dovrei scrivere basi perché sono quelle di una particella
libera in una dimensione, e si possono scegliere in tantissimi modi, a
seconda di come conviene.
Farò però una porcheria molto comune a questo punto: prenderò in Hz
una "pseudo-base" formata dagli "autovettori" di z (le virgolette
stanno a ricordare che questi autovettori non esistono; ma Dirac ci ha
insegnato come usarli :-) ).
Ciò posto, lo spazio di Hilbert del nostro fotone sarà il prodotto
tensoriale Hp x Hz e un tipico vettore base sarà |a,H>, che indica:
il fotone sta nella posizione z ed è polarizzato orizzontalmente.
Sono finalmente in condizioni di scrivere lo stato del fotone
all'uscita dal nicol:
|U> = a |zh>|H> + b |zv>|V>
dove zh è l'altezza alla quale esce il raggio ordinario, polarizato H,
e zv quella del raggio straordinario, polarizzato V.
I coefficienti a, b ci vogliono perché lo stato in uscita dipende
dallo stato in entrata, e questa dipendenza si manifesta appunto nei
valori di a e b.
Per es. (chiedo a voi) che cosa mettereste per a,b se il fotone
entrante fosse polarizzato H?
E se fosse polarizzato a 45°?
Comunque siamo in fondo: il nicol trasforma lo stato entrante, in cui
posizione e polarizzazione hanno valori determinati, in uno stato
*intrecciato*, in cui nessuna delle due osservabili ha un valore
determinato; per di più esse sono strettamente *correlate*.
Infatti se all'uscita misuriamo z possiamo trovare due soli valori: zh
o zv. Se per es. troviamo zh lo stato collassato dopo la misura sarà
|zh>|H>, quindi anche la polar. sarà determinata, con valore H.
Ora capite (spero) perché la prima frase era sbagliata: in uscita dal
nicol non ci sono fotoni H e fotoni V: tutti i fotoni escono nello
stesso stato intrecciato |U>.
E anche questa è fatta...
--
Elio Fabri
Received on Wed Dec 29 2021 - 18:30:13 CET