Un esperimento ideale un po'... imbarazzante!

From: Alberto Fanfani <albemath_at_tiscali.it>
Date: 26 Mar 2002 13:13:02 -0800

Vi sottopongo un problema che risale al 13/12/99 e che mi sono posto
durante la preparazione dell'esame di Fisica Tecnica. Qualcuno pu�
aiutarmi? Non mi ricordo pi� come lo risolse il mio prof. di allora.

PROBLEMA 1: Un corpo di massa m0 � inizialmente sospeso ad un'altezza
h sul livello del mare (stato A). Viene lasciato cadere nel vuoto in
un campo gravitazionale uniforme avente accelerazione costante g e
giunge a terra con velocit� tale che tutta la sua energia potenziale
si � mutata in energia cinetica (stato B). Supponiamo inoltre che non
vi siano attriti di alcun genere, che il corpo sia isolato
dall'esterno, che abbia pareti adiabatiche e che l'urto con il suolo
sia completamente anelastico. A un certo momento il corpo ha energia
potenziale e cinetica entrambe nulle poich� si trova fermo a terra
(stato C). Dato che il corpo � isolato dall'ambiente l'aumento di
energia interna provoca un aumento della massa del corpo in accordo
con la teoria della relativit�. Adesso riporto il corpo alla quota h
(stato D), lo faccio nuovamente cadere fino a terra (stato E) e ricavo
un altro aumento di massa (stato F). Ripetendo questo processo
all'infinito...

PROBLEMA 2: Per favore, ditemi dov'� l'errore. E' troppo imbarazzante
per essere vero!


Nel seguito v � la velocit�, z la quota, Ec l'energia cinetica, Ep
l'energia potenziale, U l'energia interna, Ut l'energia totale. Le
lettere maiuscole indicano lo stato del sistema.

----- STATO A ----------------------------------------

v(A) = 0
z(A) = h
Ec(A) = 0
Ep(A) = m0�g�h
Ut(A) = U(A) + m0�g�h

----- STATO B ----------------------------------------

v(B) = sqrt(2�g�h)
z(B) = 0
Ec(B) = 1/2�m0�v(B)^2 = m0�g�h
Ep(B) = 0
Ut(B) = U(B) + m0�g�h

osservo che:
Ut(B) = Ut(A) --> U(B) = U(A)

----- STATO C ----------------------------------------

v(C) = 0
z(C) = 0
Ec(C) = 0
Ep(C) = 0
Ut(C) = U(C)
                
osservo che:
Ut(C) = Ut(B) --> U(C) = U(B) + m0�g�h
delta_U = U(C) - U(B) = m0�g�h
delta_M = delta_U / gamma�c^2 = m0�g�h / gamma�c^2 -->
m1-m0 = m0�g�h / gamma�c^2 --> m1 = m0�(1 + (gh / gamma�c^2)) -->
m1 = m0�(1 + (gh / c^2)
essendo gamma = 1 / sqrt(1 - (v^2/c^2)) ~= 1

----------------------------------------
Ripetendo da capo le operazioni si otterr�, nello stato F, una massa
m2 = m1�(1 + (gh / c^2) = m0�(1 + (gh / c^2))^2
ed al passo N avremo una massa
m(N) = m(N-1)�(1 + (gh / c^2) = m0�(1 + (gh / c^2))^N
e si avr�:
                 lim m(N) = +inf
                N --> +inf
----------------------------------------

Un po' imbarazzante, non trovate?!
Grazie in anticipo a chi vorr� rispondere. Ciao da Alberto.
Received on Tue Mar 26 2002 - 22:13:02 CET