(unknown charset) Re: Paradosso dei gemelli: versione avanzata!

From: (unknown charset) Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 18 Mar 2002 18:47:54 +0100

Xam ha scritto:
> ...
> Un'astronave orbita circolarmente intorno al sole e ruota su se stessa in
> modo da essere orientata sempre verso il sole, come la luna con la terra. Io
> metto due orologi, inizialmente sincronizzati, nell'astronave, uno nella
> parte di essa piu' vicina al sole, l'altro nella parte piu' lontana. I due
> orologi praticamente compiono in maniera sincrona orbite circolari di raggio
> leggermente differente. Se io mi metto nell'astronave noto solo una lieve
> forza centrifuga sugli orologi ma in ogni caso ho una situazione simmetrica,
> non ho cioe' la possibilita' di capire quale dei due orologi sia piu' vicino al
> sole. Concludo che gli orologi continueranno ad essere sincronizzati
> (errore?).
E' giusto. Quella che chiami "forza centrifuga" e' in realta' la forza
di marea, ossia la risultante della forza di gravita' del Sole e della
vera e propria f. centrifuga; queste due forze sono leggermente
sbilanciate, in modo da dare una risultante sempre verso l'esterno
dell'astronave, e *al primo ordine* con grandezza proporzionale alla
distanza dal centro.
Usando il pr. di equivalenza, secondo cui gli effetti della gravita'
sono indistinguibili da quelli di una forza apparente, vedi che cio' che
conta e' appunto la forza di marea. Dato che la grandezza e' la stessa
sia se ti sposti verso il Sole, sia in verso opposto, ne puoi concludere
che i due orologi andranno d'accordo. (sempre al primo ordine).
Ci sara' invece un effetto rispetto a un orologio posto nel centro
dell'astronave.

> Dov'e' il quesito? L'orologio piu' vicino al sole, come direbbe
> Aleph, esplora costantemente una zona con potenziale minore rispetto
> all'altro quindi il tempo per lui dovrebbe "scorrere piu' lentamente"
> rispetto all'altro, in contrasto con la conclusione precedente. Dov'e' la
> soluzione? Nel fatto che l'orologio esterno debba andare un po' piu' veloce
> per poter compiere una traiettoria maggiore?
Si'. Basta che guardi le formule di Aleph. Pero' la compensazione non e'
affatto evidente "a occhio": bisogna fare il conto.

> O il fatto che i due orologi
> non sono in completa caduta libera complica notevolmente le cose ed il
> discorso intuitivo basato sulla velocita' e en. potenziale non e' piu'
> applicabile?
Il discorso rigoroso, applicabile sempre, e' quello geometrico.
Il tempo segnato da un orologio non e' che la lunghezza della curva che
esso percorre nello spazio-tempo.
Se l'orologio e' in caduta libera la curva e' una geodetica, altrimenti
non lo e', ma da questo punto di vista non c'e' nessuna differenza.
La formula di Aleph e' approssimata, e quindi lo e' anche
l'interpretazione in termini di potenziale e di velocita' (redshift
gravitazionale e dilatazione del tempo, risp.). Per fare il conto per un
orologio in moto qualunque attorno al Sole dovresti usare la metrica di
Schwarzschild:

d\tau^2 = (1 - 2GM/(c^2 r)) dt^2 - dr^2/(1 - 2GM/(c^2 r)) - r^2
(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)

e sostituire per r, \theta, \phi le espressioni in funzione di t per
quel moto. Ne risultera' d\tau = A dt, dove A e' una certa funzione di t
e dei parametri del moto.
Nel caso di campo debole (come quello del Sole) e di moti lenti (v<<c)
si ricade nella formula di Aleph.

Incidentalmente, a me non piace parlare ne' di tempo che scorre piu'
lentamente, ne' di orologi che rallentano. Preferisco vedere l'effetto
come puramente geometrico, come ho gia' detto.
Altra noterella: mentre nell'idea iniziale i due orologi partono vicini
e si ritrovano, per cui non c'e' problema a vedere se vanno d'accordo,
nel tuo caso devi mandare segnali a uno all'altro. Non e' una
difficolta', ma se consideri gli eventi rilevanti vedi che in questo
caso sono 4, invece che 2.
Va tutto liscio perche', dato che la metrica e' statica e a simmetria
sferica, puoi stare sicuro che la propagazione dei segnali all'inizio e
alla fine sara' la stessa, e quindi si cancella ai fini del confronto.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Mar 18 2002 - 18:47:54 CET