Re: Sulle critiche del Professor Fabri al mio articolo sulla

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Wed, 5 Jan 2022 17:41:52 +0100

Il 05/01/22 13:21, Christian Corda ha scritto:
...
>
> Come ho detto più volte, rispetto al Sole il pianeta si muove più velocemente che rispetto al centro di massa.

E' vero ma c'è un non-sequitur. Certo che si muove più velocemente,
visto che l'orbita è più lunga (l'ellisse con fuoco sul cdm è riscalata
di un fattore m_sole/m_totale rispetto a quella con fuoco sul Sole).

Nella trasformazione tra i due sistemi di riferimento (cdm e Sole) ci
sono alcune cose che variano (e debbono variare), altre che invece sono
riscalate di un fattore costante e altre ancora che rimangono invariate.
Queste relazioni, nel tuo esempio con le auto scompaiono ma il problema
sta nell'esempio troppo limitato. Prova ad analizzare le relazioni tra
posizioni, velocità nei diversi sdr del caso planetario e ti sarà più
chiaro.

Posizioni, distanze percorse dal pianeta e velocità variano.
Tuttavia, le posizioni di Sole(r1) e pianeta (r2) nel cdm sono ottenute
riscalando la posizione relativa nel sistema eliocentrico (r).
Quindi, istante per istante vale
r1= -(m2/M)*r
r2= (m1/M)*r
e quindi
v1= -(m2/M)*v
v2= (m1/M)*v

sono cioè proporzionali. Anche le ellissi sono proporzionali (e quindi
la lunghezza delle stesse).
Le eccentricità restano invariate.
Il momento angolare totale si conserva rispetto al cdm, ma si conservano
separatamente anche il mom. ang. del Sole (L1) e del pianeta (L2)
rispetto al cdm, nonché il mom. angolare del punto di massa ridotta mu
rispetto al sole (L).

Le relazioni di rescaling sopra riportate mostrano chiaramente che la
velocità angolare istantanea è la stessa nei due sdr.

Infatti L2 = m2 r2 x v2 = (m1/M)*mu r x v = (m1/M) L e quindi

w2 = L2/(m2 r2^2) = (m1/M)*L/(m2*(m1/M)^2 r^2) = L/(mu r^2) = w

E quindi il periodo è lo stesso.


Alternativamente, tenendo presente che la direzione di r2-r1 e quella di
r2 nel sistema del cdm coincindono (quindi i relativi versori sono
uguali), si vede facilmente che è possibile introdurre, oltre al vettore
di Laplace Runge-Lenz A del sistema eliocentico, anche due vettori A1 e
A2 nel sistema del cdm che sono solo versioni riscalate di A. Pertanto
si arriva alla stessa conclusione cui si sarebbe arrivati subito
analizzando le orbite: tutte le orbite ellittiche che appaiono in questo
problema non precedono. La posizione del punto di minima distanza dal
fuoco, diversa in ciascun sistema, resta sempre la stessa, orbita dopo
orbita, per qualsiasi eccentricità non nulla.

L'unico modo che avresti per convincere che la tua idea funziona è di
dimostrare che la posizione del perielio (fisso) di un'ellisse di
equazione, in coordinate polari:

1/r = T*(1+e*cos(theta)) (T costante positiva)

comincia a ruotare se si riscala r di una costante. Ma così non è.
Quindi, sulla base di approssimazioni, ti sei convinto di una cosa
falsa. Può succedere, ma se riesaminerai con calma, tra qualche giorno,
tutte le relazioni esatte vedrai chiaramente la situazione.

Giorgio

PS Oltre alle formule analitiche, l'integrazione del problema dei due
corpi in interazione newtoniana può essere anche effettuata
numericamente (richiede un po' di attenzione e di conoscenza dei metodi
numerici ma per ogni data precisione è possibile ottenere risultati
numerici indistinguibili da quelli analitici). Anche l'integrazione
numerica conferma che, sia la descrizione nel sdr inerziale del cdm, sia
quella nel sistema eliocentrico non-rotante, non mostrano fenomeni di
precessione se l'integrazione è sufficientemente accurata.

PPSS, Non credo di poter aggiungere altro a questa lunga discussione
per cui, per quanto riguarda questo argomento, ti saluto. E' comunque
stato interessante discuterne.
Received on Wed Jan 05 2022 - 17:41:52 CET