Re: trasforazioni di lorentz

From: Paolo Russo <paolrus_at_libero.it>
Date: 24 Feb 2002 1:23:15 +0100

[tijuana:]
>chi mi sa dire cosa sono le trsforazioni di Lorentz in due parole e in un
>linguaggio abbastanza semplice?

In due parole? Impossibile, se vuoi che si capisca qualcosa.

Cominciamo dalle trasformazioni galileiane, che si usano
nella meccanica classica (non einsteiniana).
Hai due sistemi di riferimento in moto reciproco. Diciamo che
qualcuno si piazza vicino a un treno e li' definisce una terna di assi
cartesiani e un riferimento temporale (un orologio, insomma).
Diciamo che l'asse x va nella direzione del moto del treno;
gli altri assi sono invece perpendicolari al treno. Questo
sistema di riferimento lo chiamiamo O(x,y,z,t).
Qualcun altro invece sale sul treno e li' definisce un altro
sistema di riferimento O'(x',y',z',t'). Per semplicita`, lo
sceglie in modo tale che ogni asse sia parallelo al suo
equivalente in O e in modo che, nell'istante t=0, le origini
dei due sistemi di riferimento coincidano e anche t'=0. Dato
pero' che il treno e`�in moto lungo l'asse x/x' a velocita`
v, la distanza tra le origini dei due riferimenti aumenta col
tempo.

Problema: dato un evento nel sistema di riferimento O della
banchina, individuato tramite valori ben precisi per x, y, z
e t, quali sono le coordinate spazio-temporali dello stesso
evento nel sistema di riferimento O' del treno in movimento?

Nella cinematica classica la risposta e`:

t'=t
x'=x-vt
y'=y
z'=z

Queste sono le trasformazioni galileiane. Si puo` notare che
all'istante t=0 i due sistemi di coordinate coincidono; poi
dopo, per tempi successivi, x e x' differiscono sempre piu'.

Nella relativita` einsteiniana la risposta e`:

t'=(t-vx/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2)
x'=(x-vt)/sqrt(1-v^2/c^2)
y'=y
z'=z

dove sqrt="radice quadrata", ^2="al quadrato", c="velocita`
della luce nel vuoto".
Queste sono le trasformazioni di Lorentz, che se non sbaglio
le ha ipotizzate prima di Einstein ma non le ha integrate in
una teoria decente, cosa che invece ha fatto Einstein.

Se si decide di misurare lo spazio in secondi (-luce) allora
c=1 (adimensionale) e le trasformazioni si semplificano:

t'=(t-vx)/sqrt(1-v^2)
x'=(x-vt)/sqrt(1-v^2)
y'=y
z'=z

pero` questa e` solo una notazione convenzionale che si usa
nelle formule, secondi e secondi-luce non sono la stessa
cosa. Nel seguito, per alleggerire i passaggi, usero` questa
convenzione; inoltre scrivero` "g" al posto di "sqrt(1-v^2)".

t'=(t-vx)/g
x'=(x-vt)/g

Questo per passare da O a O'. E per il passaggio inverso?
Semplice, se O' si muove a velocita` v rispetto a O, allora O
si muove a velocita` -v rispetto a O', quindi basta usare le
stesse formule, solo cambiando il segno a v (t+vx, x+vt). E`
facile verificare che passando da O a O' e poi di nuovo a O
si riottengono effettivamente i valori iniziali (tenendo
conto che g vale proprio sqrt(1-v^2)).
Dalle trasformazioni di Lorentz si possono dedurre tante
cose. Eccone alcune.


Dilatazione relativistica del tempo

Domanda: un intervallo di tempo T, misurato da un orologio
fermo nel sistema di riferimento O, quanto vale in O'?
Abbiamo dunque due eventi (ad esempio tic consecutivi
dell'orologio) che, in O, hanno la stessa posizione x
(l'orologio e` fermo) e tempi diversi a e b, con b=a+T. In O'
le posizioni dei due eventi sono diverse, ma la cosa non ha
importanza: quel che ci interessa e` la differenza T'=b'-a'.

a'=(a-vx)/g
b'=(b-vx)/g
T'=b'-a'=(b-vx)/g-(a-vx)/g=(b-a)/g=T/g

Dunque T'=T/g: essendo g<1, l'intervallo di tempo risulta
dilatato.


Contrazione relativistica delle distanze

Domanda: una sbarra che, ferma nel sistema di riferimento O,
ha lunghezza d (lungo l'asse x), quanto e` lunga nel
riferimento O'?
La sbarra ha dunque due estremi di ascisse pari ad a e b, con
b=a+d. Rispetto a O' questi estremi si muovono:

a'=(a-vt)/g
b'=(b-vt)/g

Tuttavia, per calcolare d'=b'-a', dato che a' e b' si
muovono, bisogna ovviamente calcolare la differenza tra b' e
a' "congelati" ad un certo istante t', non importa quale, ma
basta che sia lo stesso per entrambi. Quindi ci occorrono le
espressioni per a' e b' in funzione di t' e non di t. Bisogna
quindi usare le trasformazioni inverse:

a=(a'+vt')/g
b=(b'+vt')/g

a'=ag-vt'
b'=bg-vt'
d'=b'-a'=(bg-vt')-(ag-vt')=bg-ag=(b-a)g=dg

Dunque d'=dg; essendo g<1, la distanza risulta contratta.


La cosiddetta "somma relativistica delle velocita`"

Domanda: un oggetto che, nel riferimento O, e` in moto a
velocita` V, che velocita` ha in O'? Nel caso galileiano la
risposta sarebbe semplicemente V'=V-v (stando attenti ai
segni: velocita` negativa = moto verso le x decrescenti).
Poniamo per semplicita` che all'istante t=0 sia x=0 (e quindi
anche x'=0).

x=Vt
x'=(x-vt)/g=(Vt-vt)/g=t(V-v)/g

ma per calcolare V'=x'/t' ci occorre x' in funzione di t',
quindi ricorriamo alla trasformazione che lega x, t e t':

t'=(t-vx)/g
con x=Vt: t'=(t-vVt)/g t=gt'/(1-vV)
x'=t(V-v)/g=(gt'/(1-vV))(V-v)/g=t'(V-v)/(1-vV)
V'=x'/t'=(V-v)/(1-vV)

Dunque V'=(V-v)/(1-vV), anziche' V'=V-v. Se, per maggior
chiarezza, immaginiamo che il moto di O' rispetto ad O sia a
velocita` -v invece che v, otteniamo V'=(V+v)/(1+vV), dove la
formula classica prevede V'=V+v; da qui la dizione, per certi
aspetti infausta, di "somma relativistica delle velocita`".
(Ricordarsi che in effetti quell'1 e` in realta` un c^2).
Come caso particolare, se V=1 (cioe` V=c), V'=(1+v)/(1+v)=1.
Ossia, se qualcosa si muove alla velocita` della luce in un
sistema di riferimento, si muove alla stessa velocita` anche
in tutti gli altri. In verita` qui sto considerando solo il
moto lungo l'asse x, ma si puo` verificare anche in un caso
piu' generale; in realta` le trasformazioni di Lorentz sono
state escogitate proprio per far si' che la velocita` della
luce fosse la stessa in ogni sistema di riferimento.


Spesso, ragionando soltanto sulla base degli effetti appena
calcolati su distanze e intervalli di tempo, si arriva a
paradossi (es. il tempo di O' e` piu' lento di quello di O,
ma anche il tempo di O e` piu' lento di quello di O', dunque
il tempo di O' e` piu' lento di se stesso) che sono dovuti al
fatto che, nel calcolo di quegli effetti, si isola lo spazio
dal tempo e si trascurano quindi certi sfasamenti (spaziali e
temporali) che invece sono essenziali nel paradosso, Come
gia` spiegato, se si usano le trasformazioni di Lorentz per
passare da un sistema di riferimento a un altro e poi per
ritornare indietro, si riottengono i valori iniziali; non
c'e` verso di ottenere valori minori di se stessi. Quindi e`
bene, nei ragionamenti di questo tipo, usare direttamente le
trasformazioni di Lorentz invece degli effetti sopra
elencati.

Ciao
Paolo Russo
Received on Sun Feb 24 2002 - 01:23:15 CET