foice wrote:
>
> Quello che vorrei sapere �: se e come si fa (dalla teoria dei prodotti
> scalari e degli spazi vettoriali) ad ottenere una espressione per le
> rotazioni bidimensionali nello spazio di minkowsky scritte come matrici
> contenti funzioni iperboliche.
> Grazie a tutti
Ciao, non chiamarle "rotazioni" per piacere, visto che
non lo sono ma si chiamano trasformazioni di
Lorentz (speciali). La teoria fisica nella quale non mi
addentro, visto che mi pare che non sia questo il punto, afferma
che la trasformazione di coordinate tra due riferimenti
inerziali in 2D deve essere lineare e deve mantenere
invariata la matrice (che rappresenta il prodotto scalare
lorentziano)
1 0
0 -1
che indichero' con E d'ora in poi. Quindi cerchiamo matrici
M reali 2x2 tali che
E = M E Mt (1)
dove Mt e` la trasposta di M. Richiediamo che le matrici M
siano anche invertibili (perche` i due sistemi di riferimento
che considero devono potersi considerare equivalenti per cui
devo poter passare da uno all'altro e viceversa) quindi
det E diverso da zero.
Se M e` della forma
a b
c d
la (1) si scrive esplicitamente
a^2 - b^2 ac-bd 1 0
=
ac-bd c^2-d^2 0 -1
se c=0 deve essere b=0 oppure d=0 guradando i termini
fuori dalla diagonale pricipale. Pero' deve anche valere
Det E= ad-bc diverso da zero, per cui non puo` essere d=0.
Quindi se c=0 => b=0 => dall'elemento in alto a sinistra
a=+/- 1 e da quello in basso a destra d= +/- 1.
Quindi ci sono tra le matrici M, le matrici con c=0, b=0 e a e d
che valgono + o - 1 (non mi addentro nel significato fisico).
Se c e` diverso da 0 => a= bd/c. Sostituendo nell'elemento
in alto a sinistra
b^2(d^2/c^2 -1) = 1 ossia b^2c^2(d^2-c^2) =1
e le equazioni rimangono, considerando anche quella in basso a
destra
c^2-d^2 = -1
(b^2/c^2)(d^2-c^2) =1
ossia
c^2-d^2 = -1
b^2/c^2 = 1
ossia
b = +/- c
d^2 - c^2 = 1
Nota che d^2 e quindi |d| deve essere > oppure = 1
visto che c^2 e` > o = a 0.
La funzione cosh x per x in -oo, +oo riempe tutta la regione
> o = a 1, per cui qualunque sia d, ci sara` x in (-oo, +oo)
con cosh x = +/-d. Quindi d = +/- cosh x. Dalla relazione
cosh^2 x - sinh^2 x = 1 ricaviamo che deve anche essere
c = +/- sinh x. Infine b= +/- sinh x e
a= bd/c = +/- d
In definitiva, se s,s' e s'' valgono + o -1, facendo tutti
i casi possibili, e x e` un numero quelsiasi in (-oo,+oo),
la generica trasformazione di Lorentz e` data da:
(s''s'/s) cosh x s'' sinh x
M =
s sinh x s' cosh x
Usando le matrici della forma, con x come sopra
cosh x sinh x
M =
sinh x cosh x
dette matrici "ortocrone proprie",
insieme alle matrici (sempre di Lorentz) dette rispettivamente
"inversione di parita`" e "inversione del tempo":
1 0
P=
0 -1
-1 0
T=
0 1
costruisci, con prodotti di matrici, l'insieme completo delle
matrici di Lorentz trovate sopra.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
moretti_at_science.unitn.it
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Sat Feb 23 2002 - 15:12:03 CET