Re: Funzione d'onda del fotone?

From: Elio Fabri <fabri_at_df.unipi.it>
Date: Fri, 08 Feb 2002 11:40:27 +0100

Joe Oblivian ha scritto:
> ...
> Credo inoltre (ma non ho riguardato
> nulla, mi ricordo cose studiate 3 anni fa e poi mai riguardate) che sia
> l'operatore di CREAZIONE dei fotoni, sempre in QED.
Dovresti stare sempre meglio di me, che queste cose le sapevo bene 30
(leggasi trenta) anni fa...
Pero' forse posso ancora dare un mano, anche se il discorso e'
tutt'altro
che semplice, e percio' anche lungo. Magari lo faccio a puntate, quando
trovo il tempo.

Per prima cosa dovremmo metterci d'accordo su che cosa intendiamo per
"funzione d'onda".
Assumo che si possa dire questo: deve essere una funzione L^2, il cui
modulo quadrato possa essere interpretato come densita' di probabilita',
e che abbia un'evoluzione temporale con un operatore unitario, ossia
soddisfi un'eq. diff. di Schroedinger:
i D\psi/Dt = H\psi (D derivata parziale)
con H operatore autoaggiunto.

Cominciamo dal caso piu' semplice: campo scalare libero (particelle di
spin 0).
Indico con A(x) l'operatore di campo; con |1> un generico stato del
campo con una particella presente.
(Puoi costruire questi stati applicando al vuoto |0> un'opportuna
combinazione di operatori di creazione.)
L'insieme degli stati |1> e' uno spazio di Hilbert (sottospazio dello
spazio di Fock del campo).
Cio' posto, posso tentare una definizione di f. d'onda al modo seguente:
\psi(x) = <0|A(x)|1>
(nota che x sta a significare 4 coordinate).
E' ovvio che \psi(x) soddisfa l'eq. di Klein-Gordon, visto che la
soddisfa A(x);
si dimostra inoltre senza difficolta' che \psi(x) e' scalare per trasf.
di Lorentz.
Purtroppo questo non e' del tutto soddisfacente, per due ragioni:
a) l'eq. di K-G e' di secondo ordine
b) |\psi|^2 non puo' essere una densita' di probabilita', perche' il suo
integrale sullo spazio non e' invariante, e quindi non puo' essere posto
= 1.

La soluzione per a) sta nell'osservare che in \psi entrano solo le
frequenze positive (solo la parte con operatori di distruzione di A(x)
da' contributo). Percio' e' possibile anche scrivere per \psi
un'equazione diff. del primo ordine nel tempo.
Tralascio i dettagli, che del resto non ricordo senza andare a cercarli.
L'eq. ha la forma
i D\psi/Dt = \int K(r-r') \psi(r',t) dr'
dove r e' il vettore delle coordinate spaziali, e K e' funzione solo di
|r-r'| (una funzione di Hankel modificata...).
Ne risulta dunque un'eq. integro-differenziale, ossia l'operatore H non
e' un operatore differenziale. Ma questo in se' non e' un ostacolo
serio.

La soluzione per b) sta nel modificare \psi, definendo una \psi_1 =
H^{-1/2} \psi
(salvo errori). Si puo' dimostrare (passando allo spazio degli impulsi)
che
\int |\psi_1|^2 dr e' invariante di Lorentz.
Quindi \psi_1 puo' essere presa come funzione d'onda a tutti gli
effetti.

Con questo si risolve il problema di definire una funzione d'onda per
particelle di spin 0 (campo scalare).
Come si fa per gli altri casi, lo vediamo in un'altra puntata (sperando
che quello che ho scritto sia tutto giusto...).
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Received on Fri Feb 08 2002 - 11:40:27 CET

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