In molti testi di meccanica viene trattata la deduzione
dell'equazione della corda vibrante alla Lagrange: si
schematizza la corda come un insieme di n masse puntiformi
collegate a 2 a 2 da molle e si effettua una sorta di limite
per n tendente ad infinito.
corda continua: ________________
discretizzazione: * * * * * * * * * * * * * * *
Lo stesso procedimento pu� essere seguito per ricavare
l'equazione della membrana vibrante: considero il caso di
una membrana rettangolare (in questo modo le soluzioni
dell'equazione corrispondente possono essere espresse in
termini di seni e coseni). Considero una griglia di punti
mxn e collego ogni punto ai 4 adiacenti (destra, sinistra,
sopra, sotto) sempre con delle molle e poi di nuovo un bel
limite per n e m tendenti ad infinito.
discretizzazione della membrana:
* * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * *
Mentre per la corda la disposizione dei punti e dei
collegamenti mi sembra abbastanza generale, per la membrana
� naturale considerare altri reticoli o diverse tipologie di
collegamento dei punti attraverso le molle (usare uno schema
a X piuttosto che a + per esempio).
Se il procedimento utilizzato (discretizzazione e limite) �
valido le conclusioni dovrebbero essere indipendenti dalla
scelta (arbitraria) del reticolo. Mi aspetto di ottenere
'equazioni diverse' ma con 'soluzioni uguali' (non so benee
cosa possa significare formalmente, magari che le equaioni
sono diverse a meno di cambiamenti di variabile).
Dopo questo lungo preambolo ecco le domande:
1) Conoscete qualche riferimento su questi argomenti, in
particolare sul metodo di approssimazione finita di un
continuo e quindi del passaggio al limite?
2) Se esiste, dove posso trovare in 'letteratura' la
dimostrazione dell'invarianza delle soluzioni rispetto al
reticolo scelto?
3) Se non esiste, avete qualche suggerimento sul come
abbozzare la dimostrazione?
4) ... un penny per i vostri pensieri! :)
Spero di aver scritto in maniera comprensibile.
Ciao e grazie.
--
Daniele S.
Mathematics is the part of physics where experiments are
cheap.
( V.I.Arnold, "On teaching mathematics")
Received on Sat Feb 02 2002 - 15:46:59 CET