(wrong string) � neutrino

From: Osservatore <leonardo377_at_supereva.it>
Date: Mon, 10 Dec 2001 00:38:20 +0100

"Elio Fabri" <fabri_at_df.unipi.it> ha scritto nel messaggio
news:3C11F085.C2473257_at_df.unipi.it...
> Voglio aggiungere un calcoletto sulle nane bianche, piu' che altro per
> mostrare che cosa potrebbe significare una divulgazione "seria" (che
> pero' non sarebbe piu' divulgazione, in quanto richiederebbe studio).
> Forse riuscira' poco gradito che ci siano tanti numeri, ma lo faccio
> apposta, perche' la fisica senza numeri si riduce a chiacchiere vuote.

Chi l'ha detto che non sia gradito!!! Io gradisco.
Concordo con l'inserire anche calcoletti, si dovrebbe fare pi� spesso.

> Dunque: prendiamo una nana bianca di massa uguale a quella del Sole
> (2E33 g) che e' un valore ragionevole. Mi servira' calcolare quanti
> elettroni ci sono, e procedo cosi'. La massa e' dovuta ai barioni
> (protoni e neutroni) che hanno ciascuno massa circa 1.6E-24 g: quindi ce
> ne sono 1.25E57. Gli elettroni sono all'incirca la meta' dei barioni, se
> la stella e' composta prevalentemente di elio o elementi piu' pesanti:
> quindi 6E56 elettroni.
> Poiche' in ogni cella dello spazio delle fasi, di volume h^3, possono
> stare due elettroni (questo perche' ci sono due stati di spin possibili)
> le celle occupate sono la meta': 3E56.

Lo spazio delle fasi, lo tratti come uno spazio fisico.
Cosa intendi per fasi. Io provo a sparare la mia.
Un elettrone, pu� essere considerato un'onda piana (?) che si propaga nello
spazio.
Pi� elettroni ci sono, pi� onde piane in propagazione abbiamo.
Il fatto che citi lo spazio delle fasi � che due onde di elettroni non
devono essere in fase nello stesso luogo, nello stesso piano?
E se sono nello stesso luogo ma sfasati non vi sono problemi?

> Nota: sto assumendo che il gas di elettroni sia "completamente
> degenere", come di fatto e'. Ossia che siano occupati tutti e soli gli
> stati di piu' bassa energia. Perche' sia cosi', potrei spiegarlo
> (dipende dalla temperatura) ma non voglio essere troppo lungo.
> Allora il volume totale di spazio delle fasi occupato dal gas di
> elettroni e' 3E56 x h^3 = 2E-24 (cgs).

Mi sembra di capire che in una nana bianca, la materia sia in stato di
plasma, protoni e elettroni non legati.
I protoni e neutroni essendo pi� pesanti sono al centro della stella, mentre
gli elettroni (pi� leggeri) sono sulla superficie e formaro una sorta di
atmosfera (Gas degenere).
La reciproca repulsione elettrostatica � compensata dalla notevole forza
gravitazionale.

>
> Passiamo al volume spaziale della stella. Una stella del genere ha un
> volume dell'ordine di 10000 km (poco piu' grande della Terra, con la
> massa del Sole) e il volume viene 4.2E27 cm^3.
> Il volume nello spazio delle fasi e' il prodotto del volume spaziale
> vero e proprio, per il volume nello spazio degli impulsi, ma questo
> debbo un po' spiegarlo.
> Le particelle hanno ciascuna un impulso, che e' un vettore. E hanno
> anche un'energia cinetica, prop. al quadrato del modulo dell'impulso.
> Allora gli stati con la minima en. cinetica si otterranno prendendo
> tutti i valori del modulo dell'impulso fino a un certo massimo P (che si
> chiama impulso di Fermi). Considerando i vettori, tutti i vettori
> possibili si disporranno dentro una sfera di raggio P, il cui volume e'
> quello che ho chiamato sopra "volume nello spazio degli impulsi".
> Nota: ho attribuito agli elettroni sola energia cinetica: questo
> equivale a supporre che non siano soggetti a forze. E' quello che si
> chiama "modello a particelle indipendenti" e non posso ora discutere
> quanto sia giustificato. In parte vedremo poi...
> A conti fatti, il volume nello sp. degli impulsi e' 2E-24 / 4,2E27 =
> 4.8E-52 (cgs). A qusto volume (che e' quello di una sfera di raggio P)
> corrisponde P = 4.9E-18 (cgs).
>
> Fermiamoci un momento. Abbiamo appreso che gli elettroni (gas di Fermi
> completamente degenere) per il fatto di essere costretti nel volume
> della stella, avranno impulsi compresi fra zero e un massimo pari a P,

P � il raggio della stella.
L'impulso � una lunghezza? Ovvero la lunghezza d'onda dell'elettrone?
Perch� allora non pu� essere 2P, oppure, il cubo iscritto nella sfera.
Starebbe sempre dentro la stella.

> appena calcolato. Per avere un'idea di quanto e' questo P, ricaviamone
> la velocita' massima degli elettroni, dividendo per la massa (9E-28 g):
> troviamo v = 5.4E9 cm/s, che e' quasi 1/5 di c!

Con una tale velocit�, ci star� poco dentro una cella nello spazio delle
fasi, o volume nello spazio dell'impulso.

> Dunque dovremmo tener conto di correzioni relativistiche? Per un ordine
> di grandezza, che e' quanto c'interessa, non e' necessario. Se pero'
> dovessimo fare dei conti piu' accurati, e se la stella fosse un po' piu'
> piccola, dovremmo ricordarcene.
> A questo impulso P corrisponde un'en. cinetica massima E (energia di
> Fermi) che vale 1.3E-8 erg, ossia circa 8000 eV, molto maggiore delle
> energie di legame degli elettroni negli atomi di elio e di altri atomi
> leggeri (carbonio e simili). Questo giustifica, almeno in parte, l'aver
> trattato gli elettroni come liberi: di fatto tutti gli atomi sono
> ionizzati, e gli elettroni si muovono liberamente per tutto lo spazio
> della stella.
> Puo' sorgere una domanda: come mai non scappano fuori?
> La risposta non la do, per lasciare qualcosa da pensare...
>
> Concludo con un'osservazione importante. Il nostro calcolo era soltanto
> numerico. Ma si poteva fare facilmente in forma algebrica, e si vede ad
> es. che l'energia di Fermi cresce al diminuire del raggio della stella.
> Come cresce? Il volume spaziale va come R^3, quindi il volume nello sp.
> degli impulsi va come 1/R^3, quindi P va come 1/R, ed E va come 1/R^2.

Questo vuol dire che l'energia di fermi non � una costante.
E lo spazio delle fasi di un elettrone � in 3D.
E quindi prima ho sbagliato, non pu� essere un onda piana.

> Si vede dunque che per comprimere la stella occorre spendere lavoro.
> Se teniamo conto della gravita', questo lavoro potrebbe essere ottenuto
> a spese dell'en. potenziale gravitazionale; ma questa, fissata la massa
> della stella, va come 1/R, quindi cresce meno di quella che occorre dare
> al gas di elettroni.
> Ne segue che ci sara' un equilibrio: un raggio della stella al quale la
> somma (en. pot. grav.) + (en. cinetica degli elettroni) sara' minima.
> Nota: chi volesse trovare questo minimo, tenga conto che l'en. pot.
> grav. e' negativa!
> Se si fa il conto per bene, viene fuori che con la massa del Sole il
> raggio di equilibrio e' circa 7000 km, un po' piu' piccolo di quello che
> avevamo preso all'inizio.
>
> E' dunque possibile con argomenti elementari, e usando un solo risultato
> quantistico (due elettroni per cella dello spazio delle fasi) capire
> come sta insieme una nana bianca.
>

Mi sembra di avere capito che non vi � un limite alla cella dello spazio
delle fasi.
La dimensione della cella dipende dall'energia cinetica degli elettroni.
Ma tale cella dello spazio delle fasi, quanto pu� essere piccola per gli
elettroni? esiste un limite minimo dello spazio per cui gli elettroni si
possono concentrare con energia cinetica = 0 ?
e quindi la loro densit� massima?
E tornando alla mia domanda principale, anche i neutrini hanno una loro
cella minima dello spazio delle fasi?
Quanto pu� essere la densit� massima ?

> La matematica necessaria non supera le conoscenze liceali, e anche la
> fisica, tutto sommato; ma e' la capacita' di maneggiare tutti i vari
> concetti e leggi, inserire le giuste grandezze, capire che cosa puo'
> essere trascurato, quali semplificazioni adottare; e' tutto questo il
> difficile.
> Proprio quello che la solita divulgazione ignora allegramente.
> --
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
> Sez. Astronomia e Astrofisica
> ------------------------------------

Grazie per le eventuali risposte

Leonardo
Received on Mon Dec 10 2001 - 00:38:20 CET