Luca M. ha scritto:
> In rete ho trovato questa affermazione. Volevo capire se è corretta e
> rigorosa e in tal caso comprenderne meglio il significato:
Prima alcune questioni di dettaglio, poi passerò al problema generale.
> Innanzitutto non comprendo il senso di "in quiete a ogni istante".
Non vedo che c'è da capire. Significa che in un certo intervallo di
tempo di lunghezza non specificata il corpo non si muove in un sistema
di rif. solidale alla terra.
Qualunque cosa faccia un corpo (a rigore dovremmo dire un punto
materiale) avrà una "curva oraria" nello spazio-tempo. Bene, in questo
caso tale curva *non è una geodetica*.
Poi:
> ...
> immagino con la stessa logica della forza centripeta misurabile in un
> moto circolare uniforme da uno sperimentatore solidale con la
> rotazione
Non è che volevi dire "centrifuga"?
Comunque non è rilevante per il problema.
Fra poco darò una spiegazione più completa.
> Il moto di caduta libera di una particella in Relatività Generale
> è determinato in modo completamente geometrico, e non richiede di
> introdurre il concetto di forza.
Vero, è quello che solitamente si chiama "principio della geodetica".
E' bene sapere che non è un principio indipendente della RG, come è il
principio d'inerzia nella meccanica newtoniana.
Si tratta invece di un teorema, che discende dalle leggi generali
della RG, sotto certe ipotesi.
Bisogna che il corpo di cui si tratta abbia piccole dimensioni e
piccola massa, in modo da non alterare apprezzabilmente con la sua
presenza la geometria dello spazio-tempo.
Occorre poi che il corpo non sia soggetto ad alcuna forza non
gravitazionale.
E' ovvio che se il corpo è carico e si muove in vicinanza di altri
corpi carichi, addio geodetica!
La questione generale consiste in questo: il passaggio dalla fisica
newtoniana alla RG è un *cambiamento di paradigma*.
Significa che bisogna imparare a ragionare in modo diverso, con
concetti diversi e leggi fondamentali diverse.
La difficoltà principale per un principiante sta proprio qui: è molto
facile non accorgersi di fare un ragionamento che usa un miscuglio
delle vecchie e delle nuove regole.
Naturalmente non posso farti una trattazione completa. Debbo limitarmi
ad alcuni punti essenziali che dovrebbero bastare per quello che chiedi.
Il primo già lo conosci: si rinuncia allo spazio e al tempo assoluti e
al carattere euclideo dello spazio, per sostituirli con una struttura
matematica (lo spazio-tempo) più complessa (una varietà
semiriemanniana) su cui non posso entrare se non per alcune proprietà,
la prima delle quali è che presi nello spazio-tempo due punti
(punti-istanti, anche detti "eventi", se consideri una curva che li
unisce si può definire una "lunghezza" di questa curva.
(Formulazione molto difettosa, ma per quello che ci serve può bastare.)
La seconda è che un corpo, che si muova o che stia fermo rispetto a
qualche riferimento, possiede comunque nello spazio-tempo una
"storia", detta curva oraria, linea oraria, linea d'universo, a seconda
dei gusti.
La terza è una legge fisica: la lunghezza di un arco di questa curva
oraria coincide col tempo misurato da un orologio che accompagni il
corpo (il cosiddetto "tempo proprio").
A seconda dei gusti, c'è chi ci mette un fattore c per distinguere
tra lunghezza e tempo proprio, e chi preferisce scegliere unità in cui
c=1, per ragioni su cui non mi posso soffermare.
Quarta: fissati due punti lungo la linea oraria di un corpo, puoi
considerare tutti gli archi di curva che uniscono quei due punti.
Tra queste curve ce n'è una che ha lunghezza massima (Nota: massima,
non minima). Questa curva "estremale" si chiama "geodetica".
Esistono altre definizioni di geodetica che hanno vantaggi e svantaggi
rispetto a questa. Ho scelto questa perché è la più diretta da dare
nel presente contesto.
Ora enuncio un punto che riguarda più l'interpretazione fisica che la
struttura matematica.
Nella RG sono riconosciute tutte le forze tranne la gravità, che (come
hai già letto) è "geometrizzata", ossia assorbita nella definizione
dello spazio-tempo, della metrica, delle geodetiche.
Nota che la geometrizzazione della gravità era già implicita nella
scoperta di Galileo: tutti i gravi cadono con la stessa accelerazione.
Il che vuol dire, allargando la visuale, che le traiettorie e le leggi
orarie dei pianeti non dipendono dalle loro masse, finché queste sono
piccole rispetto a quella del Sole.
Però ci vollero tre secoli e un Einstein per vederlo...
Il principio d'inerzia galileiano e newtoniano viene rimpiazzato in
RG dal *principio della geodetica* che ti ho già detto:
"Un corpo piccolo e non soggetto a forze (non gravitazionali, ma
queste in RG non esistono) ha come curva oraria una geodetica dello
spazio-tempo."
E' quello che comunemente viene definito un corpo "in caduta libera".
> Ma l'esperienza mi dice che un oggetto posto sopra una molla fissata a
> terra la "schiaccia": come può una "curvatura" generare quella forza?
Ecco dove occorre il cambiamento di paradigma.
Non è la curvatura che genera quella forza.
Se tu non interponessi la molla, quel corpo cadrebbe, ossia seguirebbe
una geodetica.
Poiché tu vuoi obbligarlo a deviare dalla geodetica, devi applicare
una forza.
Ti faccio un altro esempio.
Considera la Luna, che fa un giro attorno alla Terra in 27 giorni e
qualcosa (mese siderale).
In una grossolana approssimazione il moto della Luna è circolare
uniforme e in un rif. terrestre ha un'accelerazione (centripeta)
a=v^2/r. Non importa calcolare il numero.
La curva oraria della Luna è una geodetica dello spazio-tempo attorno
alla Terra.
Supponiamo che tu voglia realizzare un'astronave che segue lo stesso
percorso della Luna, ma impiegando un tempo metà, quindi con velocità
doppia. La sua accelerazione sarà quindi (2v)^2/r = 4a.
Questa *non è una geodetica*, quindi la tua astronave non potrà
muoversi in quel modo senza una forza esterna.
Potrai realizzarla in vari modi, ma quello ovvio è di dotare
l'astronave di razzi che scarichino gas in direzione radiale, *verso
l'esterno*, così da produrre l'accelerazione che manca, pari a 3a.
La forza occorrente (non gravitazionale) sarà 3ma: tripla di quella che
nel paradigma newtoniano è l'attrazione gravitazionale della Terra.
Naturalmente a questo risultato si poteva arrivare senza RG e
geodetiche, usando semplicemente le leggi di Newton e la vecchia buona
gravità.
Mi potresti allora chiedere: ma se non c'è niente di nuovo, che motivo
c'è di tirar fuori la RG?
Il motivo è che io ho barato, facendoti credere che la RG porti
porprio allo stesso risultato della meccanica newtoniana.
In realtà la geodetica, se calcolata bene, non coincide col moto
newtoniano: ne differisce pochissimo perché abbiamo a che fare con
velocità piccole (rispetto a c) e campo gravitazione debole.
Non ignorerai che la differenza, per quanto piccola, in certi casi è
osservabile.
Saprai la storia del perielio di Mercurio.
Einstein nel novembre del 1915 fece il primo calcolo della geodetica
più precisa di un pianeta secondo la RG, e dimostrò che differiva un
po' dal moto su un'ellisse che Newton aveva calcolato.
Differenza che non era sconosciuta: si sapeva da almeno 60 anni che
Mercurio aveva un moto "anomalo" (appunto la precessione del perielio)
che non si riusciva a spiegare con le leggi di Newton.
E che invece tornava perfettamente col calcolo di Einstein.
Come ti saresti sentito al posto di Einstein?
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Elio Fabri
Received on Wed Feb 02 2022 - 21:57:28 CET