[pluto:]
>che differenza c'� tra velocita di gruppo e velocita' di fase associate ad
>un'onda?
Non e` tanto semplice da spiegare. Ci provo, facendo
riferimento alle funzioni d'onda nella MQ non relativistica
(eq. di Schroedinger, quindi).
Cominciamo con il notare una cosa un po' strana. Due
equazioni fondamentali della MQ correlano quantita` di moto
ed energia (solo cinetica nel caso non relativistico) a
parametri ondulatorii di una particella:
hk=mv
hw=E
dove per h intendo in effetti h tagliata (cioe` la costante
di Planck divisa per due pigreco), per k intendo il vettore
d'onda (la cui direzione e` quella di propagazione dell'onda
e il cui modulo e` due pigreco diviso per la lunghezza
d'onda) e per w intendo in effetti omega (la pulsazione,
ossia la frequenza per due pigreco). Tutti questi pigreco che
si annullano tra loro sono imposti dall'opportunita` di
definire la pulsazione in quel modo, in modo da poter
definire la fase in radianti.
Cosa c'e` di strano in quelle formule? Be', ragioniamo.
Immaginiamo un'onda che viaggia (in una sola dimensione,
tanto per semplificare). Se fissiamo l'attenzione su un punto
dello spazio, e` evidente che la velocita` dell'onda sara`
uguale al numero di fronti d'onda ("cime") che passano per
quel punto in un secondo (=frequenza) moltiplicato per la
lunghezza d'onda:
v=frequenza*lunghezza
In base alle definizioni di w e k, deve allora valere:
v=w/k
Se pero` consideriamo le relazioni iniziali, otteniamo:
w=(E/h)/(mv/h)=E/mv=mv^2/2mv=v/2
v=v/2
che ovviamente non ha senso. Dove sta l'errore?
Nessun errore, solo che stiamo parlando di due velocita`
diverse. Bisognerebbe scrivere Vf=v/2, dove Vf sta per
velocita` di fase, cioe` la velocita` con cui si muovono (o
sembrano muoversi, vedi oltre) le cime e le valli dell'onda.
La particella descritta dalla funzione d'onda, tuttavia, NON
va a quella velocita`, ma alla velocita` v=2Vf. Com'e`
possibile? Ebbene, la particella non e` costituita da una
singola onda (nel senso di singola frequenza), ma da una
somma di infinite frequenze, tant'e` vero che si parla
tranquillamente di spettro di una particella. La particella
e` un "grumo" di onde, che altro non e` che il battimento
prodotto da queste infinite onde (ognuna infinitamente
estesa) che si sommano interferendo costruttivamente (qua e
la`) o distruttivamente (quasi ovunque). Un battimento tra
due sole frequenze e` qualcosa di semplice ed e` a sua volta
un segnale periodico, ma un battimento di infinite frequenze
puo` dar luogo a qualunque configurazione aperiodica, come ad
esempio un unico "grumo" isolato che va asintoticamente a
zero allontanandosi dal suo centro in qualunque direzione. Se
tutte le onde avessero la stessa velocita`, come nel caso di
un'onda elettromagnetica nel vuoto, qualunque loro battimento
si sposterebbe alla stessa velocita`, ma nel caso delle
funzioni d'onda non e` cosi': la velocita` di fase dipende
dalla lunghezza d'onda, quindi la velocita` a cui si muove il
centro del "grumo", che non e` una semplice onda ma un
battimento di infinite frequenze che si muovono a velocita`
diverse ("pacchetto d'onde"), NON e` assolutamente una cosa
scontata da calcolare e non ha nessuna particolare relazione
a priori con la velocita` di fase. Si dimostra
(matematicamente) che la velocita` del "grumo", detta
velocita` di gruppo, non e` w/k come per la velocita` di
fase, ma dw/dk. Piu' esattamente:
Vg(k)=dw(k)/dk
Nel caso particolare della MQ non relativistico, abbiamo:
Vg=d(mv^2/2h)/d(mv/h)
Vg=d(v^2/2)/dv=v
Quindi i conti tornano: cio` che osserviamo come velocita` v
di una particella non e` altro che la velocita` di gruppo del
pacchetto d'onde, cioe` la velocita` del centro del "grumo".
Naturalmente il pacchetto d'onde non rimane sempre uguale a
se' stesso mentre si muove, di solito tende ad appiattirsi
e allargarsi, quindi si puo` dire che le varie parti del
"grumo" si muovono a velocita` leggermente diverse, la testa
e` piu' veloce della coda... questo fatto e` direttamente
correlato al principio di indeterminazione, che in effetti
non fa altro che dire che di nessun pacchetto d'onde si puo`
dire: sta in questo punto preciso ed ha questa velocita`
precisa. Si puo` solo dire che sta quasi tutto in questa zona
e va perloppiu' a questa velocita`, e si dimostra
matematicamente che piu' stretto e` il grumo (piu' e` definita
la posizione della particella), piu' ampio e` lo spettro di
frequenze e quindi di velocita` (piu' rapidamente testa e
coda del "grumo" tendono ad allontanarsi). Ma vedo che sto
divagando.
Un'ultima cosa. Non e` tanto facile visualizzare un pacchetto
d'onde che si muove a velocita` doppia di quella media delle
onde che lo compongono, se non ci si aiuta con una
simulazione al computer. Viene da pensare che non e`
possibile, che non quadra, che allora dovrebbero crearsi dal
nulla delle "cime" in testa al pacchetto, mentre altre
dovrebbero svanire in coda. Infatti e` proprio cosi', in un
certo senso... e` un modo di vedere le cose. Un altro modo e`
quello della rotazione della fase. Se ruotiamo una vite su
se' stessa, vediamo i filetti che si muovono verso la testa o
la punta, ma la vite non si sposta, o magari si sposta a
tutt'altra velocita`... Che fine fanno i filetti che sembrano
muoversi verso la testa? E da dove vengono quelli che si
creano sulla punta? Domande assurde, i filetti non si muovono
davvero longitudinalmente, ma ruotano dando l'impressione di
spostarsi. Nel caso di un'onda non esiste differenza tra le
due descrizioni, sono equivalenti: mentre nel caso della vite
possiamo farci un segno a matita per capire se i filetti
traslano o ruotano, non c'e` modo di fare le stessa cosa con
una funzione d'onda: le due descrizioni sono matematicamente
indistinguibili, la distinzione e` solo nella nostra
immaginazione, l'onda obbedisce all'equazione di Schroedinger
e non c'e` altro da dire.
Spero di non essere stato piu' di 100 volte piu' criptico del
necessario. :-)
Ciao
Paolo Russo
(postato il 25/10/2001)
Received on Thu Oct 25 2001 - 23:46:08 CEST
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