Re: Differenza tra conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Wed, 6 Oct 2010 06:48:27 -0700 (PDT)

On 6 Ott, 02:09, Tetis <lje..._at_yahoo.it> wrote:
> On 4 Ott, 22:38, Valter �Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
[... ]

> Per quanto riguarda le simmetrie dello spazio tempo, ad esempio nel
> caso [... ] (del)l'ordinario spazio tempo
> newtoniano non sono 10 i generatori del gruppo di Galileo?

[...]

>
> Ora una questione �: se ci sono 10 simmetrie dello spazio tempo
> newtoniano, come mai ci sono al pi� 5 costanti del moto indipendenti
> associate a questa hamiltoniana? Anzitutto notiamo che non tutte
> queste simmetrie dello spazio tempo sono simmetrie della Lagrangiana,
> lo sono le rotazioni, le traslazioni spaziali, la traslazione
> temporale, ma non lo sono i boost che modificano l'integrale d'azione
> (...).

Ho pensato tuttavia fino a giungere a questa altra osservazione: dal
momento che la fisica � invariante, anche se non lo � la lagrangiana
(su cui il boost aggiunge una derivata totale, che quindi non affligge
le equazioni di Eulero-Lagrange) non � che � possibile generalizzare
il teorema di Noether a questi casi? Ed in effetti la generalizzazione
non � difficile da mettere a punto, anche se evidentemente non sono
l'unico ad averla pensata in questo modo perch� ho notato che
Wikipedia usa proprio questa versione del teorema di Noether. A conti
fatti se la lagrangiana, per effetto di una certa trasformazione nel
parametro \eps cambia della quantit� \delta(t,q1,...,qn, q1', ... qn',
\eps) = d/dt[\Delta(...)] allora alla corrente Noetheriana gi� valida
per lagrangiane invarianti va sottratto il termine Lim_\eps-->0
( \Delta(...)/(\eps) ) Nel caso specifico, allora, ai classici
integrali del moto gi� trovati:

momento totale
momento angolare totale
Energia

si aggiungono tre ulteriori integrali, nel caso di un punto materiale
si tratta di un vettore:

\vec{w}=(m \vec{r}' t - m\vec{r})

Sono subito evidenti tre relazioni funzionali con gli integrali gi�
trovati, infatti risulta che il momento angolare pu� essere espresso
come (p x w) = mL. In definitiva la risposta migliore alla domanda pu�
essere la seguente: come in generale la ricchezza del gruppo di
simmetria non � rappresentata ugualmente bene da tutte le
rappresentazioni del gruppo, analogamente non tutti i sistemi fanno in
modo che ad ogni simmetria corrisponda una nuova grandezza conservata.
Nel caso dei sistemi meccanici elementari una rappresentazione pi�
ricca delle propriet� del gruppo di Galileo si otterrebbe prendendo in
considerazione in luogo di un punto materiale una particella dotata di
momento angolare intrinseco. In questo caso il vettore p x w non
coincide pi� con il momento angolare totale, ma solamente con la parte
orbitale, ed anche l'energia totale del sistema non risulta pi�
funzionalmente dipendente dalla quantit� di moto, e quindi
l'invarianza rispetto ai boost della fisica del sistema conduce ad
ulteriori tre grandezze indipendenti oltre le 7 gi� individuate. Fra
queste dieci grandezze sussiste tuttavia un vincolo funzionale in
quando l'energia totale pu� essere espressa in funzione del momento
della quantit� di moto e del momento angolare intrinseco, che pu�
essere determinato dalla differenza J-L = J - (p x w)/m.

> Dal teorema di Noether possiamo ricavare tramite la simmetria
> per traslazioni la costanza dell'impulso del punto materiale, mediante
> le rotazione la costanza del momento angolare, mediante la traslazione
> temporale l'invarianza di H, una volta determinata l'invarianza di H
> che nel nostro caso coincide con l'invarianza della lagrangiana,
> notiamo che essa rappresenta un vincolo funzionale fra i tre impulsi e
> quindi effettivamente le costanti del moto indipendenti sono
> l'energia, le tre componenti del momento angolare (che fissano la
> giacitura del moto rispetto all'origine delle coordinate) ed un angolo
> (la direzione del moto nel piano di giacitura rispetto ad un asse
> prestabilito in questo piano).
Received on Wed Oct 06 2010 - 15:48:27 CEST